数理科学II（第27回）

今日の授業では、最後に残っていた、多変数多項式の一般化されたHenselの補題の証明を行いました。その後、多変数多項式の因数分解のデモンストレーション資料（Mathematicaによる計算を）配りましたが、残念ながら、準備できたのは1変数多項式のHensel構成まででした。その後、2学期のレポートの返却と解説を行いました。こちらの方は、計算例も示した資料を配りました。

この授業は、私にとって初めての経験で、最初は右も左もわからず題材の準備に追われていましたが、ようやく最近になって、計算代数の理論を展開することを通して、次のことを学生さん達に伝えることを意識するようになりました。

1つは、計算機に載せるような数学も、その理論の展開は、紙とペン、もしくは黒板とチョークから始まるということ。いささか古典的に見えるかもしれませんが、数学の伝承は、やはりこのスタイルが基本なのかもしれないなと思います。逆に言うと、このスタイルを受け入れられる人は、計算代数のような数学も、他の数学と同様に学ぼうとすれば、身につけられるものだと思います。

もう1つは、計算機が行う計算に「すごい！」と思うようなものも、決して魔法ではなく、数学のトレーニングを積んでいれば、一見「魔法」のような動作をもたらす理論も、確実に理解可能であること。計算機の能力は、人間をはるかに越える計算の速さや、記憶力など、魅力的なものばかりですが、計算機をうまく使いこなし、有効な計算結果を導き出せるか否かは、それを使う人が、その計算の背後にある理論と、計算機の能力を適切に把握しているか否かに依存すると思います。そういう意味で、計算をしようとする時は、その背後にある理論を学ぶことが大切だと思います。

以上を、授業を終えるにあたり、学生さん達に述べた上で、1年間この授業におつきあいいただいたことへの感謝の言葉を述べました。

もし、またこのような授業を担当する時には、できたら、あと1つのことを学生さん達に伝えたいと思っています。それは、このような理論を実際に計算機上でプログラムを組み、動かすことの楽しさです。となると、今年度の授業でやった理論に加えて、その実装＝数式処理システムの実装の話をすることになるかな、話だけでなく、プログラムを実際に組んで、学生さん達に示す必要があるな、と思います。ここまで行けるかどうか、現時点ではまだわかりませんが、もし時間があれば、チャレンジしてみたいところですよね。そんなことを考えながら、この授業を終えました。おっと、3学期のレポートの評価と成績評価も忘れないようにしましょう。

数理科学II（第26回）

今回の授業では、与えられた多項式の既約因子の係数絶対値の上界として、多くの教科書等に載っているMignotteの上界を紹介し、1変数多項式の整数環上での因数分解の手順の残りを説明しました。

多変数多項式の一般Hensel構成については、一般化されたHenselの補題のステートメントまでを説明し、その証明を、次回最終回の授業で説明することにしました。来週までみんな出てきてくれるとよいのですが、とにかくこちらも頑張りたいと思います。

数理科学II（第25回）

今日は、前回の1変数多項式のHensel構成を踏まえ、1変数多項式の整数環上での因数分解の手順を説明しました。 途中、入力多項式を有限体上の多項式に写すときに使う素数pの選択の部分でちょっと詰まってしまい、全部は終わりませんでした。

次回は、与えられた多項式の既約因子の係数絶対値の上界を見積もる方法の紹介から始めます。授業回数はあと3回ですが、最終地点である、多変数多項式の因数分解までなるべく踏み込みたいと思います。

数理科学II（第24回）

今日は、ようやく1変数多項式のHensel構成の説明をしました。

次回は、これを踏まえた1変数多項式の整数環上の因数分解についてまとめたいと思います。

数理科学II（第23回）

今日は、1変数多項式のHensel構成の準備ということで、素数pを法とした拡張Euclidの互除法などの道具の準備をしました。

その後、Hensel構成の導入として、いくつかの異なる素数をとり、有限体上の因数分解を行って、そこから中国剰余定理で多項式因子を構成・・・という話をしましたが、途中で時間がきてしまいました。

次回は、この話を踏まえて、Hensel構成の説明をし、1変数多項式の因数分解をなるべく終わらせられれば、と思います。

数理科学II（第22回）

今日の授業では、Berlekampの因数分解の最後ということで、f-reducing polynomialから実際に与えられた多項式の既約因子を計算する際の説明を補足し、計算例を提示しました。

次回からは、Hensel構成による整係数1変数多項式の因数分解の話題に入ります。今日はその導入をちょろっと話しましたが、授業はあと4回程で収める予定なので、なるべく話が収まるようにしたいと思います。

数理科学II（第21回）

大学院の授業も今年は今日からです。

今日は、これまでに行ったBerlekampの算法を一通り復習した上で、行列（で定義される線形写像）の零空間の基底の計算について説明しました。その後に、Berlekampの算法の計算例をやりたかったのですが、零空間の基底の計算で時間になりました。

というわけで、計算例については来週またということになります。この授業も残すところあと5、6回ですが、なるべく行けるところまで行きましょう。

数理科学II（第20回）

今日の授業では、f-reducing polynomialの計算の部分を説明しました。ここが因数分解の計算の肝になる部分ですので、ここの部分を説明して一段落、といった感じです。

次回はまた時間が開いて1月19日ですが、零空間の基底の計算や、算法の正当性に関する説明になると思います。Berlekampの算法はたぶん次回で終わりになると思いますが、うまくまとめたいと思います。

数理科学II（第19回）

今日から3学期の授業です。今日は、f-reducing polynomialの存在に関する議論で、中国剰余定理について説明しました。

次回は、f-reducing polynomialの計算の話題になると思います。

数理科学II（第18回）

今日は、2学期最後の授業ということで、Fermatの小定理から始めて、因数分解に使うf-reducing polynomialの話までやりました。次回以降、因数分解の具体的な手順に入っていきたいと思います。

あと、今日は、先月出題した2学期分のレポートの締切もありました。これから採点したいと思います。

数理科学II（第17回）

今日は、前回最後にやった無平方分解の計算例を示した後、有限体上の因数分解に入りました。

有限体上の因数分解にはいくつかの算法がありますが、今回はBerlekampによる算法を扱います。まずは有限体の諸概念の定義を復習し、有限体上の多項式の計算例を示しました。

次回は2学期最後の授業ですが、次回辺りまでかけて因数分解のための準備になると思います。

数理科学II（第16回）

授業は、今日から「多項式の因数分解」に入りました。今日は、因数分解のアウトラインを説明の後、無平方分解の説明をしました。

無平方分解の計算法の部分が、時間の都合でちょっと急ぎ足になったので、次回、計算とともに復習したいと思います。

数理科学II（第15回）

前回の授業が木曜日だったので、また通常通り月曜日に授業となると、少々あわただしい感じがします。

今回は、これまでの内容に関するレポート課題を出しました。たぶんこれが2学期の成績評価の主要な資料になるので、頑張って提出してほしいと思います。

今回のレポート課題を解くにあたっては、多項式の計算が面倒なので、適当な数式処理システムの利用を勧めています。そのため、数式処理システムMathematicaを使って、多項式の計算を行うデモンストレーションを行いました。

残りの時間では、主に数式処理システムから見た数式処理の歴史を簡単に（といっても思ったより時間がかかりましたが）説明し、最後に、最近注目を集めている数式処理システムSage (http://www.sagemath.org/) を紹介しました。

次回からは、次のテーマである、多項式の因数分解の話に入りたいと思います。

なお、私の工房のホームページの中に、この授業のページを作りました。
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~terui/ms2-2009
レポート課題のPDFファイルがダウンロードできます。Mathematicaのノートブックファイルは、使っているシステム(Dokuwiki)の都合でまだアップロードできていませんが、じきにやりたいと思います。

数理科学II（第14回）

今日は木曜日ですが、体育の日の振替で、月曜日の授業になりました。

今日の授業では、部分終結式PRS算法を一通り説明し、春から続けてきた多項式GCDの計算に関する話が一段落しました。

次回は、数式処理システム等を含め、ここまでの話題に関連する話を若干する予定です。

数理科学II（第13回）

今日の授業では、Collinsの縮小 (reduced) PRS算法の説明をしました。

次回、部分終結式PRS算法の説明をやって、このセクションの区切りにできると思いますが、どうなるでしょうか。頑張りましょう。

数理科学II（第12回）

先週の授業から週明けですぐ授業で、ちょっと慌ただしいですが、今日は「部分終結式の基本定理」の証明を何とか時間内に済ませました。

講義ノートのページ数はいつもの授業の半分程度ですが、定理には細かいインデックスが多く、板書もそれを写すのにもいつもより時間がかかるようです。所々、インデックスや符号の書き間違いがあり、学生さん達には失礼しました。指摘に感謝します。

次回は「部分終結式の基本定理」をもとに、多項式剰余列の係数膨張を抑える算法を紹介し、多項式のGCDや多項式剰余列の話のまとめとしたいと思います。

数理科学II（第11回）

9月の連休も明けたところで、今日は木曜日ですが、月曜がよく休みになるため、今日は月曜日の授業とのことです。

というわけで、今日は、前回の補題の証明の残りと、もう1つの補題の証明をやりました。次回はようやく部分終結式の基本定理の証明に入ります。

が、今日の出席者は半分程度でしたので、次回、もしかしたら今回の復習をやるかもしれません。

数理科学II（第10回）

2学期の授業が始まりました。今日は、夏休み明けでしたので、夏休み中に行った国際会議の紹介などもして、授業に入りました。

1学期に部分終結式の基本定理の手前で終わったので、今日はその手前の補題の1つ目からでしたが、この補題の途中で終わりました。次週、定理まで行けるでしょうか。頑張りたいと思います。

数理科学II（第9回）

今日も授業を進めて、どうやら部分終結式の基本定理にさしかかるちょうど前まで来ました。

で、ここから補題と定理をやるのに、あと2〜3回はかかる。1回では終わらなさそうなので、とりあえず1学期の授業はここまでにし、残りの証明は2学期にやることにしました。

夏休み明け、皆さん内容を思い出してくれればよいですが（自分も！）、また頑張りたいと思います。

数理科学II（第8回）

今日の授業で、ようやく部分終結式の定義までたどり着きました。

で、先週、この授業の準備をしてみると、どうも今月あと2回の授業では、部分終結式の基本定理までやるのは難しそうな気がします。とりあえず来週6月15日は休講で、翌週6月22日が試験前の授業の最終日なので、その時点で、29日に補講するか、それとも残りを2学期に持ち越すか、判断したいと思います。