数学特別演習（第16回）

今日はこの科目の最後の授業で、まず、前回の続きとして、「オイラー線」に関する定理のうち、重心と外心の座標を計算し、ついで、定理の証明をしてもらいました。

最後の発表者は、第7章の残りの部分の解説で終わるだろうと思っていたところ、ぜひ次の章も発表したいとのことで、第7章の残りの部分は手早く済ませ、第8章「オイラーと組み合わせ論」を発表してもらいました。

第8章の内容は「撹乱順列」と呼ばれる順列の問題です。彼は、これを「居酒屋の帽子の問題」として、次のように説明してくれました。

n 人の友達どうしが、全員、異なる帽子をかぶって居酒屋に行き、マスターに帽子を預けて飲む。飲んだ後で、マスターから帽子を受け取ってかぶるが、その際、全員が、行きと異なる帽子をかぶる組み合わせは、全部で何通りあるか？

それから、オイラーが、撹乱順列の個数を、n に関する漸化式で表したこと、ついで、これを n の（閉じた）式で表したことが紹介されました。そして、与えられた n に対し、居酒屋を出た全員が行きと異なる帽子をかぶる確率が、n をどんどん大きくすると 1/e (eは自然対数の底) に収束するという性質が紹介されました。

組み合わせ論の話に e が出てくるというのは、なんとも驚きです。最後に、彼は「e は（事実はともかくとして）実はオイラーの頭文字でないかという気がする」という話をして、発表を締めくくりました。

これまで、約半年にわたって、オイラーの数多くの業績のほんの一部に触れてきたわけですが、それでも、多くの数学者によって数学が紡ぎ継がれていく様子や、その中でのオイラーの見事な（時には大胆な）発想力など、得るものが大きかったのではないかと思います。ある人は、感想の中で「e や π といった神秘的な無理数が、数学に内在するあらゆる垣根を越えて登場する」ことから「数学の絆」を感じたと書いていましたが、この授業に出てきた私達も、授業を通して、数学の絆で結ばれていたのかな、と思いました。

授業に出てくれた皆さんには、これからも、このような数学の絆を見つけ、これを楽しみ、また、これを身の回りに広めていってくれれば、と思います。

数学特別演習（第15回）

今日の授業では、第7章「オイラーと幾何学」に入りました。この章では、平面幾何におけるオイラーの業績を紹介しています。

前半は「ヘロンの公式」のオイラーによる証明を発表してもらいました。ヘロンの公式は、三角形の3辺の長さから面積を求める公式で、公式自体は古くから知られているものですが、オイラーによる証明は、いくつもの三角形の相似を巧みに用いることによって公式を導いており、理論は中学校の数学の範囲で理解できるものですが、証明の巧みさには驚かされます。

後半では、三角形の垂心、重心、外心が1直線上に並び（オイラー線）、しかも垂心と重心の距離が、外心と重心の距離の2倍になるというものです。ここで、オイラーの証明は、平面の直交座標系に三角形を置き、垂心、重心、外心の座標を直接計算することによるもので、オイラーのたぐいまれなる洞察力と計算力を垣間見ることができます。

今日の授業では、後半のオイラー線の話のうち、垂心の座標の計算で終わったので、次回は、残りの重心と外心の座標を計算し、定理の証明に進む予定です。

数学特別演習（第14回）

前週、私の病気で急きょ休講にしてしまいましたが、今回は、前回に引き続き、代数方程式の解法に対するオイラーの挑戦を見た後、エピローグとして「代数学の基本定理」について発表してもらいました。

代数方程式の解法については、オイラーは完全な答えを与えることができませんでしたが、それは、同時代の他の数学者にもできなかったことであり、あと半世紀ほど数学の進化を待たなければならなかったので、やむを得なかったことでしょう。それでも、4次以下の代数方程式の解法について、オイラーがすぐれた洞察で根の計算法を与えたことは、彼のたぐいまれなる才能と努力を示していると思います。

次回からは、第7章「オイラーと幾何学」について学びます。

数学特別演習（休講）

今日は、予定にはありませんでしたが、担当教員の私がインフルエンザにかかってしまったため、休講としました。授業が遅れることをお詫びいたします。

次回は、前回の続きの部分を、前回指名した担当者の発表で読んでいきます。

数学特別演習（第13回）

今日は、第6章「オイラーと代数」に入りました。この章では、オイラーが最終的に成功しなかった事例である「代数方程式の基本定理」と「根の公式」について扱いますが、注意したいのは、オイラーの時代においてはこの問題を解決できた人は誰もいなかったということと、最終的な解決には至らなかったものの、オイラーの研究成果はやはり優れたものであったということです。

代数方程式の根の公式に関する話題では、オイラーによる4次方程式の根の公式の導出をたどりました。ついで、代数方程式の基本定理の部分では、まず、4次の実係数1変数多項式が、2つの2次の実多項式の積に分解できることを示す定理で、証明の途中まで紹介されました。

今回発表してもらった部分は、細かい計算も多く、読者が補う部分もこれまでに比べると比較的多い（しかし難易度はそれ程でもない）ですが、発表者はどちらもきちんとフォローしており、よかったと思います。次回は、代数方程式の基本定理に関するオイラーの挑戦の続きを見ていきます。

数学特別演習（第12回）

今回は、年明け最初の授業です。今回は、第5章「オイラーと複素数」の後半を読んでいきました。

最初の内容は、いわゆる「オイラーの公式」で、オイラーによる、3つの異なる証明が紹介されました。それから、エピローグとして、複素数の正弦 (sine) や余弦 (cosine) の計算、複素数の対数の計算、最後に、虚数単位 i の i 乗の計算を、オイラーがいかに導いたかを読んでいきました。

複素数の三角関数では、純虚数の余弦が実数になることや、複素数の対数は一般にたくさん存在すること、i の i 乗の値は実数でしかも無限個存在することなど、従来の認識を破りつつ、複素数に対する認識を数学界に広めていったオイラーの偉大さが感じられたと思います。

なお、今回の授業は、年初めのせいか、若干空席が目立ちました。次回はこれまで通り席が埋まることを望みます。

数学特別演習（第10回）

今日は火曜日ですが、金曜日の振替授業日となりました。今回は、第5章「オイラーと複素数」に入りました。

複素数は、16世紀のイタリアを中心に発展した、1変数代数方程式の根の公式の研究によって注目されるようになりましたが、2次方程式の複素根はそれほど注目されず、3次方程式を解く際になって、本来は実根が存在するのに、根の公式を用いると複素数として表示されることから数学者達が疑問を持つようになった点については、授業に出ている多くの人が驚いているようでした。

ついで、オイラーによる解法が紹介され、複素数の偏角を扱うことにより、根の公式によって導き出された値から実根を見事に導いた部分が紹介されました。

次回も、引き続き、複素数に関するオイラーの業績を見ていきます。

数学特別演習（第9回）

今回は、前回に引き続き、オイラーと解析的数論の話題を発表してもらいました。内容は、「オイラー積」を用いて素数が無限に存在することの証明、素数の逆数の和が発散することの、オイラーとそれ以降の数学者による証明、そして、素数の分布に関する「素数定理」の話題などでした。

次回からは、次章「オイラーと複素数」に入ります。

数学特別演習（第8回）

今日から3学期分の授業に入りました。

前半では「バーゼル問題」について、オイラーによる応用として、三角関数のべき級数展開を求める際に、p 級数の値を利用できること、それから、オイラー以降の研究の進展について発表してもらいました。p が奇数の場合の p 級数については、オイラー以降の研究の進展がほとんどないことに驚かされます。

後半では、第4章「オイラーと解析的数論」に入りました。今日のところは、オイラーによる、調和級数と素数の関係の解明について発表してもらいましたが、いつものように、無限級数に対する（形式的な）加減乗除を駆使して結論を導くオイラーの大胆さには驚かされます。

次回は、オイラーによる、素数の逆数の和が無限大に発散することの証明など、オイラーによるさらなる成果について見ていきたいと思います。

数学特別演習（第7回）

今日の前半は、前回進めなかった部分、オイラーによる「p 級数」の計算の拡張について発表してもらいました。

「p 級数」は、数列 1/n^p (n = 1,2,3,...) の和で、p = 2 のときが有名な「バーゼル問題」ですが、オイラーは、p = 2 の場合の無限級数の値を求めたのに続いて、他の p の値に対して、それらの無限級数の和の計算にチャレンジしました。

その結果、彼は、代数方程式の根と係数に関する新たな公式を編み出し、それを道具に用いて、p が偶数の時に、p 級数の値を構成的に計算する方法を見出しました。これにより、p が偶数のときの p 級数の解明は大きく進歩したと言えると思います。

引き続いて、後半では、「バーゼル問題」のオイラーによるもう一つの証明を紹介してもらいました。先の証明は「オイラーらしい信念の飛躍」があり、これに疑問を持つ人もいたようですが、今度の証明では、誰もが認める微積分の基本的な性質のみを用いた証明に成功し、これもまた素晴らしいものだと思います。

次回は、オイラー以降のこの問題に対する研究の進展などを紹介してもらう予定です。2学期の授業は今回で終わりで、今学期発表がなかった人にはレポート課題が出ます。期末試験の準備もあって大変かとは思いますが、各自頑張って力作が出ることを期待しています。

数学特別演習（第6回）

今日は、いわゆる「バーゼル問題」の、オイラーによる最初の証明 (1735年) について、発表してもらいました。

オイラーによる証明は、「無限次の1変数多項式の因数分解」のように「オイラーらしい信念の飛躍」（本文より）を伴うもので、その発想には読んでいて驚かされますが、それが、厳密には証明が必要なものであっても、本質的に筋が通っていて、正しい方向へ答えが導かれるという点に、ますます驚かされます。

今日の授業では、オイラーによる「p級数」のさらなる成果に進む予定でしたが、今日当たっている発表者のうち、1人目が欠席、3人目が風邪で声が出ず、4人目は準備不足ということで、今日は1人で発表が終わりました。次回は今学期最後の授業ですが、次の人から無事進むことを期待しています。

数学特別演習（第5回）

今日は、前半で、この章のまとめとして、調和級数と自然対数の差がある定数に収束すること---オイラの定数 γ の話題を取り上げました。

後半は、「第3章：オイラーと無限級数」に入りました。この章では、若き日のオイラーの名声を決定的なものにしたと言われる「バーゼル問題」、すなわち、1/n^2 の無限和が π^2/6 に等しいことの証明を取り上げています。今回は、オイラー以前の結果と、オイラーによる最初の成果として、級数の近似値を効率的に求めるための研究を取り上げました。

次回は、バーゼル問題の証明を見ていく予定です。

数学特別演習（第4回）

今日は、オイラーの業績として、指数関数と対数関数のべき級数展開を求める話を中心に議論しました。

オイラーは、著書「無限解析入門」の中で、指数関数と対数関数のべき級数展開を扱いました。この本では、内容を初等的にするため、微積分を使わずにこれらの計算を行ったとのことですが、計算の鍵を握っているのは、ニュートンによる (1+x)^rの2項展開で、指数関数や対数関数の式を巧みな操作でこの形に持ち込んで展開を行っています。そして、非常に巧妙なやり方で、指数関数と対数関数のべき級数展開を得ていました。

オイラーによるべき級数展開の導出で印象的な点の一つに、「無限」の扱いで、たとえば、整数 j に対し、 j/(j-1) という有理式において、 j が無限に大きくなる時にはこの式は 1 に限りなく近づくとして、1とおいて計算を進めたりする点があります。もちろん、これを厳密に確かめるは、19世紀以降の微積分の発展を待たなければなりませんが、オイラーのこの大胆さに爽快感を覚えるとともに、この直感的な操作も本質的には正しい方向に計算を導くことに、オイラーの発想の非凡さを感じます。

次回は、今回の内容に関連する話題として、調和級数の発散と「オイラー定数 γ」の話に入る予定です。

数学特別演習（第3回）

今日は、前半、偶数の完全数に関するオイラーによる定理の証明の後の研究の進展について、発表してもらいました。

完全数については、まだ謎も多く、たとえば、奇数の完全数の存在については、存在の証明も非存在の証明もまだできていません。現在までの研究で、10³⁰⁰までの奇数には完全数は存在しないことがわかっているそうです。その他、これまでに知られている完全数のいくつかの性質を見ました。

後半では、第2章「オイラーと対数」の話に入りました。今回は、オイラーが登場する前の話で、対数の導入や、対数の数値計算の話が取り上げられました。オイラーによる、対数関数や指数関数の級数展開が行われる以前は、対数の数値計算にも大変な手間を要したことや、オイラー以前の対数関数に関する知識などについて発表が行われました。

次回は、オイラーによる、対数関数や指数関数と、その応用で、対数の数値計算が劇的に速くなったことなどがとりあげられる予定です。

数学特別演習（第2回）

今日は、偶数の完全数が、2^k-1(2^k-1), 2^k-1 は素数, の形で表されるという定理と、オイラーによるその証明を行いました。

証明に至る準備では、自然数 n に対し、n のすべての約数の和を表す関数 σ(n) の性質を確認しました。この関数はオイラーが導入したものですが、定理の証明において、この関数が巧みに用いられていることがわかります。

関数 σ(n) の性質、定理の証明とも、議論は初めて読む人には少々面倒な部分もあるかもしれませんが、内容は初等的で、よく考えながら読めば理解できるようなものです。数学の本に慣れていない人にはまだ少々きつい部分があるかもしれませんが、このようなテキストで数学の本の読み方を学んでいってほしいと思います。今日発表した人達は、よく準備してきていました。

次回は、現在も未解決問題として残っている、奇数の完全数の存在性などを取り上げます。

数学特別演習（第1回）

今日から、いよいよテキストを読み始めました。テキストの第1章は「オイラーと数論」で、オイラーが「完全数」に関する結果を導いた話です。

「完全数」は、真の約数の和がその数自身に等しい数です。完全数に関する最初の数学的に意義のある結果を導いたのは、驚くなかれユークリッドで、彼の「原論」に載っているということです。ユークリッドは「2^k-1 が素数で、N=2^k-1(2^k-1) のとき、Nは完全数である」ことを証明しました。

この定理は、ある数が完全数であるための十分条件を与えたものとして画期的でした。また、この定理により、完全数を探す問題が「2^k-1」の型の素数を探す問題に帰着されることもわかります。2^k-1の型の素数は「メルセンヌ素数」と呼ばれますが、自然数 k に対し、2^k-1 が必ずしも素数になるとは限りません。メルセンヌ素数の探索は現在も続けられており、特に現在では、インターネットを介して共同でメルセンヌ素数を探すプロジェクト (Great Internet Mersenne Prime Search; GIMPS) というものも存在します。

では、完全数はどのような形で表されるか？という問題に答えたのが、これから読んでいく、オイラーの業績です。授業は来週に続きます。

さて、今回は最初の授業で、最初に発表した人達は、準備の要領など、初めての経験で大変だったと思いますが、よく頑張って説明していたと思います。次回以降発表する人達も、今回の授業が生かされるような発表になるよう、楽しみにしています。

数学特別演習（第0回）

今年も、昨年に引き続き、数学類の「数学特別演習」を受け持つことになりました。

昨年は2クラスに分けての開講でしたが、最初のクラス分けの際に人数がアンバランスになりそうだったので、今年は1クラス増やしての開講になりました。今日は、ガイダンスとクラス分けを行いました。

私のクラスで選んだのは次の本です。

W. ダンハム (著), 黒川 信重, 若山 正人, 百々谷 哲也 (翻訳)
「オイラー入門」
シュプリンガージャパン

オイラーは、言うまでもなく、数学史上最も偉大な数学者の一人ですが、本書では、オイラーの数多くの業績からいくつかを選び、各テーマ毎に、「プロローグ」として、オイラー登場以前のその分野の背景、「オイラー登場」による彼の業績、「エピローグ」として、オイラー以降のその分野の発展について述べています。

クラス分けの結果、20人強の人達が集まりました。履修者全体の約半分ですので、3クラスの中では人数が多いですが、これから有意義な授業にできればと思います。