easyarithmetician's tips and announcements: 2018-06

2018-06-27

今回は、主にタプル (tuple) といったデータ型の扱いや、Haskellの型、型変数の概念を学んでいます。

今回は、多項式剰余列の計算における、部分終結式の基本定理（主定理）の証明を行いました。

次回は、今回証明した定理を応用して、多項式剰余列の係数膨張を防ぐアルゴリズムを紹介します。

今回は、中国剰余定理を取り上げ、拡張Euclid互除法を用いて解く「中国剰余算法」のアルゴリズムを紹介しました。

次回は、拡張Euclid互除法の応用として、有理数演算を剰余環に埋め込んで行い、有理数の計算結果を復元する方法と、有理数の小数近似から有理数を復元する方法を紹介します。

今回から、プログラムのファイルを作って定義するような課題が出ています。今回は、関数定義を学んだ上で、リストの操作を中心とした課題に取り組んでいます。

今回は、「部分終結式の基本定理」の証明に向けた準備として、まず、前回紹介した補題の証明を行いました。つぎに、この補題を用いて、多項式剰余列の連続する3つの多項式と、部分終結式の関係（補題）を示しました。

次回は、部分終結式の基本定理（主定理）の証明を行う予定です。

今回は、拡張Euclid互除法の性質を紹介したのち、実数の連分数展開の計算について説明しました。まず、有理数の連分数展開について述べたのち、無理数の連分数近似について説明しました。

次回は、中国剰余定理と中国剰余算法について説明します。

計算機演習は、今週から、坂井公先生担当による、プログラミング言語Haskellの実習です。

今回は、Haskellの初回ですので、テキストエディタによるプログラムの作成、Haskellの対話環境による操作が中心です。

今回は、まず、部分終結式を1つの行列式で表す表現について説明しました。その後で、多項式の1回の除算における、剰余と部分終結式の関係について、補題の証明のアイデアまで説明しました。

次回は、今回紹介した補題を証明した上で、次の補題として、多項式剰余列の要素と部分終結式の関係を示す予定です。

今回は、拡張Euclid互除法の性質に触れた後、拡張Euclid互除法の応用例として「法逆元の計算」を紹介しました。これは、剰余環の元が単元である（乗法の逆元をもつ）ときに、その逆元を計算するものです。

次回も、拡張Euclid互除法の性質に触れた後で、Euclid互除法の応用例として「有理数の連分数展開」を紹介する予定です。

今回は、Mathematica編の最終回ということで、フラクタル図形を描画するプログラミングを行いました。

これで、この授業の前半のMathematica編が一通り終わりました。今後の授業などの機会にMathematicaを活用されることを期待します。次回からはプログラミング言語Haskellの実習を行います。

今回は、前回に続くような計算例で、多項式剰余列に出てくる多項式の係数を、最初の入力多項式の係数を成分にもつ行列式で表す方法を説明した後で、部分終結式の定義を行いました。

次回からは、部分終結式と多項式剰余列の関係を明らかにする方向で説明を行います。

今回から、Euclid互除法の章に入りました。今回は、まず環や整域などの各種用語を確認した後で、Euclid互除法のアルゴリズムを説明し、ついで、拡張Euclid互除法のアルゴリズムを説明しました。

次回以降しばらくは、拡張Euclid互除法のいくつかの性質を取り上げ、拡張Euclid互除法を応用した各種アルゴリズムを紹介したいと思います。