お気楽さんすう屋さんateruiの小技とお知らせのまとめです。
"easy arithmetician" aterui's spot for tips and announcements.
今回は、この授業の最後の講義ということで、正方行列が対角化可能な条件について説明しました。今回の授業は化学類対象で、数学が専門ではありませんので、定理の紹介にとどめ、それらの証明は教科書には書かれていますが、説明は省略しました。
これで、秋学期の一通りの講義を終えました。秋学期の内容の中心は、抽象的なベクトル空間と、その上での線形写像に対し、行列は線形写像を数ベクトル空間で表したものであり、行列の変形は、その行列が表す線形写像を、基底を変換して表したものであることを伝えようとしたつもりです。この講義の担当は初めてでしたので、その趣旨が伝わっているとよいのですが、今後、線形代数をさらに学んで使う人達には、今回の講義がそのための土台になることを、そうでない人達には、数学の文化に触れる経験の一つになることを望みます。受講者の皆さんの今後の活躍をお祈りいたします。
授業サポートページ： https://www.math.tsukuba.ac.jp/~terui/la2-2017
今回は、まず、前回の授業の補足説明を行いました。1つは、線形写像の表現行列に関する内容で、基底の変換行列と、ベクトルの成分表示の変換の関係について、より詳しく説明しました。もう1つは、グラム・シュミットの直交化法の説明を一部補足しました。
今回の授業内容としては、正方行列の対角化ということで、行列の固有値と固有ベクトルについて復習したのち、行列の固有空間の次元が行列の次元に等しい場合に、固有ベクトルを並べた行列を用いることで、固有値を対角成分にもつ対角行列に変換できることを示しました。
次回は、この授業の最後の講義になりますが、正方行列が対角化可能なための条件と、その他の補足事項について説明する予定です。
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今回は、ベクトルの内積と計量ベクトル空間を導入し、内積について説明しました。そして、正規直交基底について説明し、それを求める方法として「グラム・シュミットの直交化法」を紹介しました。
次回は、行列の固有値と固有ベクトルの復習を行い、行列の対角化との関連について説明する予定です。
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今回は、前回の最後に説明した「線形写像の表現行列」を復習したのち、基底の変換によって線形写像の表現行列がどのように変化するかについて説明しました。そして、線形写像と次元に関する性質をいくつか紹介し、中でも重要なものの一つである「次元定理」についても説明しました。
次回は、計量ベクトル空間の話題に進む予定です。
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今回は、前回に引き続き、ベクトル空間の線形写像について説明しました。まず、前回の授業で説明が残った「任意のn次元ベクトル空間が同型である」性質（定理）の証明を紹介しました。そして、線形写像の表現行列の構成法を紹介しました。
次回からは、ベクトル空間の基底の変換について触れたのち、計量ベクトル空間の内積の話題に進む予定です。
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今回は、前回授業で残った、直和の次元に関する公式について説明を行い、ベクトル空間の線形写像に進みました。線形写像の定義は数ベクトル空間の場合と同じですので手短に説明を終え、同型写像と同型の概念を紹介しました。そして「任意のn次元ベクトル空間が同型である」性質を紹介しましたが、証明は間に合いませんでした。
次回は、今回最後に紹介した「任意のn次元ベクトル空間が同型である」性質の証明を行い、表現行列の説明を行った後で、計量ベクトル空間に進む予定です。
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今回は、主にベクトル空間の部分空間の和と直和について説明しました。
授業では、まず、前回説明したベクトル空間の次元の性質で説明が残った部分から始め、基底の拡張に関する性質について説明しました。それから、部分空間の和と直和の定義を行い、和と直和の性質について説明しました。
次回は、今回説明が残った、直和の次元に関する公式について説明を行ったのち、ベクトル空間の線形写像の話題に進みます。
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今回は、ベクトル空間の次元について説明しました。
授業では、まず次元の定義について説明しました。次に、次元や基底の計算例として、以前のレポート課題を取り上げ、部分空間の生成元から基底と次元を計算する例を説明しました。そして、次元に関する性質のうち、基底の変換行列について紹介しました。
次回は、次元に関する性質で今回残った部分の説明から始め、部分空間の和と直和の話題に進みます。
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今回は、ベクトル空間の基底について説明しました。前半では基底の定義を説明したのちに、基底になるベクトルの組、基底にならないベクトルの組を例題で確かめました。
後半では、基底の重要な性質について説明しました。特に、「有限生成でゼロベクトルでないベクトルを元に持つベクトル空間には基底が存在する」という定理については、証明のアウトラインも説明しました。
今回はベクトル空間の次元の説明まで進みませんでしたので、次回はベクトル空間の次元に進みます。
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今回は、ベクトル空間の基本的性質の説明を行い、次に部分空間の定義、そしてベクトルの線形独立と線形従属の定義について説明しました。
次回は、ベクトル空間の基底と次元について説明する予定です。
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今回は、まず前回の続きとして、線形写像による基本ベクトルの像が、その線形写像の像空間 (image) を生成することを紹介しました。
次に、一般のベクトル空間の話題に入り、ベクトル空間の定義と例について説明しました。
次回は、ベクトル空間の部分空間や有限生成の説明を行ったのち、ベクトル空間の基底の話題に進みます。
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今回は、まず、前回までの復習として、集合、単射、全射の概念を復習しました。次に、ベクトルの線形結合全体が部分空間をなす事実について説明しました。
次回は、線形写像による基本ベクトルの像がなす部分空間について説明したのち、一般のベクトル空間の説明に進む予定です。
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今回は、まず前回に引き続き、数ベクトル空間の線形写像と行列の関係について説明しました。続いて、数ベクトル空間の部分空間の定義を行い、線形写像の像と核の集合が部分空間になることを紹介しました。
次回は、ベクトルの線形結合が部分空間をなすことや、線形写像による基本ベクトルの像が生成する部分空間について説明します。
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本年度秋学期は、化学類対象の「線形代数II」の講義を担当します。
第1回となる今回は、授業全体の予定を説明したのち、数ベクトル空間の定義の復習、数ベクトル空間の線形写像の定義、線形写像と行列の関係について説明しました。
これまで担当した講義では、録画を公開しておりますが、今回は、初の試みとして、1回の講義の録画をテーマごとに小分けにして公開します。これまでよりも必要な部分の録画が探しやすくなることを期待しますが、ご意見ご要望がございましたらお寄せください。
次回は、線形写像と行列の関係について補足説明ののち、部分空間の定義から先に進む予定です。
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