並木 SSH 数学セミナー「あみだくじを作ろう」

今回、茨城県立並木中等教育学校のスーパーサイエンスハイスクール (SSH) 事業の一環として行われた SSH 講座「数学セミナー」にて「あみだくじを作ろう」という題目で講演をしました。

「スーパーサイエンスハイスクール (SSH) 」は、文部科学省から指定を受けて、自然科学や工学などの先進的な教育の取り組みや、大学や研究機関と連携した研究、教育活動を行うもので、独立行政法人科学技術振興機構 (JST) から資金援助を得て行うものです。

並木中等教育学校は、茨城県つくば市に位置する県立初の中高一貫校で、もともとは県立並木高校でしたが、5年前に中高一貫教育を始め、来春、1期生が大学受験を迎えるとのことです。そして、SSH は今年度（昨春）から5年間のプロジェクトで指定を受けて活動をしています。SSH 講座は、これまで、宇宙物理や医学などの講演を行ってきたとのことですが、今回は初の数学の講座ということで呼んでいただきました。直接声をかけてくださった齊藤利仁先生は、学生時代、私と同じ研究室で1つ下です。

今回の講演は2件で、最初の講演が、讃岐勝さん（筑波大学 医学医療系/筑波大学附属病院総合臨床教育センター）による「さまざまな曲線の描き方と利用法について—昔の人は曲線をどのように描いたか—」で（讃岐さんも私と同じ研究室の出身で、私が助手の時に大学院生でした）、その後で私が講演しました。そして、最後に、茨城県教育庁指導主事の内桶二郎先生による「最小ネットワーク問題の実験」の実演が行われました。

讃岐さんの講演では、昔の人々が円錐曲線などのさまざまな曲線を描画するのに用いた平面幾何学の性質や、それらの理論に基づいて彼らが作った作図機器などが紹介されました。讃岐さんは、大学院を出て最初に就職した筑波大学の数学教育の部署で、作図法を中心とした数学史の研究にも携わり、「曲線の事典」という、非常に興味深い内容とすばらしい装丁の本も執筆されています。昔の人々が、いかに工夫して器械を作り、コンピュータもない時代に正確で美しい図形を描画していたかを見ると、驚かされます。

それから、戦時中の中学校の数学の教科書でも、平面幾何の性質（円周角と中心角の関係）を用いた器械の動作が取り上げられていたことも紹介されました。これは講演の後でも居合わせた生徒さん達や先生方とも議論になりましたが、たぶん、戦時中でものづくりの技術が重視されたのではないかと推測しました。講演の後では、平面幾何の課題研究をしている中学3年生の生徒さんが讃岐さんといろいろ議論をしていて、その熱心さに私も感心しました。

次の私の講演では、あみだくじと代数学の関係から「スタートとゴールが決まったあみだくじを、最小本数の橋をかけて作る作り方」の話をしました。あみだくじは、代数学の「置換群」として扱うことができ、その理論から、スタートとゴールが与えられたあみだくじを作るのに必要な橋の最小本数がわかります。今回は、この理論の部分は（時間も知識もある程度必要ですので）認めた上で、実際に条件を満たすあみだくじを作るための構成的手順に絞って解説しました。講演の後半では、生徒さん達が眠くならないよう、実際に生徒さん達にもあみだくじを描いてもらいながら作業を進めました。生徒さん達は無事に目的とするあみだくじを作ることができたようで、よかったと思います。

最後の内桶先生による「最小ネットワーク問題」は、たとえば「三角形の3点 A, B, C に位置する学校どうしをネットワークで結ぶのに、距離の合計が最小になるネットワークの結び方はどのようなものになるでしょう？」というものです。この条件をみたす点は「シュタイナー (Steiner) 点」と呼ばれ、いろいろな図形（より一般には「無向グラフ」）のシュタイナー点を求める問題は「シュタイナー問題」と呼ばれているそうです。

さて、先生のお話では、まず三角形の場合に、距離最小のネットワークがどのような形になるか、私達に予想してもらい、では実際に実験で確かめてみましょう、ということになりました。出てきたのは、2枚の透明なプラスチックの板を 10mm くらいの間隔で重ねて、3か所、ネジ止めした自作の器具で、せっけん水に浸してみると、せっけん膜が見事に距離最小のネットワークの形になったのでした。それから、四角形、五角形、六角形の実験が実演され、私達は「すごい！！！」とわくわくしっぱなしでした。

最後に、私の「あみだくじ」の話でも下敷きになった「置換群」の話題で（私の講演では、直接「置換群」という言葉は出しませんでした）、隣り合う互換によって移り合う文字列を結ぶと、美しい図形になることが紹介されました。3文字の置換群 S₃（3本の縦線で作るあみだくじに対応する）では正六角形が現われ、4文字の置換群 S₄（4本の縦線で作るあみだくじに対応する）では、ちょっと不思議な立体が現われることが紹介されました。

内桶先生の実演は、数学的なアイデアを視覚化するという点で、大変参考になるものでした。昨年紹介しましたが、私のところでは、学園祭の際に、子供達を対象にした科学実験の学生企画が伝統的に行われています。この中で、数学については、小学生のような生徒が、パッと見て内容がわかる、とか、すごいと思う、というような実演をするネタを作るのがなかなか大変だという印象を得ていたので、今回の内桶先生の実演は、ぜひ、数学のおもしろさを伝えたいと思っている大学生にも見てもらいたいようなものでした。

一連の講演の後で、何人かの生徒さん達が質問をしたりして居残っていて、関心の高さに感心しました。彼らの年頃だった頃の自分を振り返ると、それ程質問できるような知識は持ち合わせていなかったけど、おもしろそうだなーと思って、質問する友達のそばで話を聞いていましたが、なつかしい気持ちにもなりました。

並木中等教育学校のスーパーサイエンスハイスクール (SSH) 事業は、今年度から始まったということで、初年度の運営ですから、たぶんほとんどの行事が初めてで、担当の先生方もいろいろご苦労があったことと思います。そのような中で、先生の指導のもとに生徒が課題を設定して研究を行ったり、いろいろな分野で第一線で活躍されている先生方の話を聞いたり、研修で海外に出かけたりと、彼らの年頃だった頃の自分達のことを思い出すと、本当にうらやましくなるような体験だなーと思いました。

先生方に伺ったところ、今日のような講演では、高校生よりも中学生（中等1〜3年生）の方が出席者が多いようで、高校生の人達の参加が少ないのは残念な気もしますが、この事業を続けていく中で、今の中学生の人達が高校生になって、参加者が増えることを期待したいと思います。

というわけで、今日は非常に有意義なひとときを過ごすことができました。今回のセミナーを企画された並木中等教育学校の責任者の齊藤達也先生、お誘い下さった齊藤利仁さんに感謝いたします。

あと、今回の私の講演ネタは、もともとは私が就職したての頃に筑波大学自然学類の「線形代数演習」の授業で作ってきたものです。この過程で、筑波大学数理物質系（数学域）の森田純先生には、転倒数に関する理論の方で助言をいただきました。また、2005年には、SSH 事業で学校訪問に来た高校に対し、自然学類で数学講座を開きました。このとき、私の授業資料をもとにして、筑波大学大学院数理科学科学研究科の修士課程に在学していた山内（現・坂口）歩さんに、実際のあみだくじの作り方に関する講演をしてもらいましたが、今回は、山内さんの講演資料も参考にさせていただきました。あわせて感謝いたします。

最後になりますが、今日の私の講演で使ったスライドを載せておきます。

あみだくじをつくろう (Let's Make an Amidakuji (Ghost Leg Game)!) by Akira Terui

卒業予備研究セミナー (2013-8)

今日は、前半、Emacs のチュートリアルを使って使い方の実習の続きを行いました。前回と今日で Emacs の方は一通り済みました。チュートリアルはなかなかよくできていて、内容も全体的にわかりやすかったと思います。

後半では、LaTeX に入り、とりあえず、最初のサンプルの文書を作って、PDF ファイルの生成まで行いました。今後、合宿までに、Beamer によるプレゼンテーションの作成を目指して頑張りたいと思います。

微積分演習（生物）（第10回）

今日がこの授業の最終回となりましたが、今日は授業の冒頭でレポート課題を出題し、あとは各自自習という形で、復習や質問、レポート課題への解答を進めてもらいました。

この授業は人数が少ない分、気軽に質問もしてもらって対応することができたと思いますし、お互いにわからないところを教え合ったりできる雰囲気もよかったと思います。そういう意味で、皆さん積極的に授業に参加してくれたのはありがたかったです。

今後は数学に触れる機会も少なくなるかもしれませんが、それぞれの分野でのご活躍をお祈りするとともに、今後、数学で詰まったら声をかけてもらえると嬉しいですし、数学で詰まらなくても、学内などで見かけたら声をかけてもらえると嬉しく思います。というわけで、短い期間でしたが、お疲れさまでした。

微積分III演習（第9回）

今日はこの授業の最終回でしたが、関数の極限や連続性に関する問題と、無限級数の収束性判定に関する問題を発表してもらいました。学期末の成績評価は、期末試験に代わるレポート課題を出しました。

今年度も、微積分III演習の化学類と地球学類の混成クラスは、小数精鋭でしたが、先日に比べると今日は若干出席者が増加しており、0に収束しなくてよかったと思います（笑）。これは冗談ですが、少人数ながら、出席者は皆さん積極的に授業に参加し、議論も深まったのがよかったと思います。今後、このクラスの中で数学を続ける人は少ないと思いますが、この授業で行われた考え方や議論の進め方が、教養の一つとして皆さんに伝われば嬉しく思いますし、もし、これらが今後の皆さんの人生の上で活かされる場面があれば、さらに嬉しく思います。

というわけで、皆さんの今学期の期末試験のご健闘と、今後のご活躍をお祈りします。

計算機演習（第9回）

今日は、先週第8回のレポートの締切日ということで、出席自由のオフィスアワーとしました。

今日の出席者数はちゃんと数えていませんのではっきりとはわかりませんが、授業場所の端末室にある 80 台の端末はほとんどが埋まっていました。いろいろ仕事をしている人達がいたようです。この授業の履修者の人達も、活発に質疑応答や議論をしながらレポートに取り組んでいました。

余談ですが、来月にシステムの入れ換えがあり、現在使っている端末は間もなくその使命を終えます。今のシステムは、サテライト端末で初めて全学統一の管理のもとに運用されたシステムでした。（それ以前は、自然学類（2007年の学群・学類再編の後は自然系の学類）で独自に管理していました。）4年間、この授業を含むたくさんのユーザを支えてきたシステムに感謝したいと思います。

微積分演習（生物）（第9回）

今日の授業は、今週も水曜日の講義でレポート課題が出たとのことで、まずはレポート課題に出た2次形式の計算問題について、定義や解法の方針を確認しました。その後、定積分の変数変換に関する計算問題を発表してもらいました。

早いもので、この授業も来週が最後になりますが、各自頑張って演習問題に取り組んでもらいたいと思います。

微積分III演習（第8回）

今日は、主に関数の極限に関する問題を扱いました。

ε-δ 論法による証明の手順は共通していますが、個々の問題によって、関数の評価の際にいろいろと工夫することになります。それらのステップを順を追って理解しながら証明を進めるという部分も大切だと思いますので、各自、自分で納得がいくまで考えることを望みます。

この授業も、残すところあと1回となりました。来週は、関数の極限に加えて、関数の一様連続と、級数に関する演習問題を扱います。

計算機演習（第8回）

今日は、この授業の最終回ということで、フラクタル図形の描画を扱いました。

一方、前回の「金融計算」の回のレポート課題は今日が締切ということで、今日の授業時間中もも活発に議論しながらレポート課題に取り組んでいるようでした。前回、今回と、難易度がやや高い課題が続きますが、私達をうーんとうならせるような（よい意味で）レポートの提出に期待します。

今学期のこの授業では、数式処理システムに触れる機会になりました。今春から始まる3年次の「計算機数学I」では、理論的もしくは実際的な計算を視野に入れた数学の基本となる理論や方法に触れることになると思います。さらに、3年次後半の「卒業予備研究」と4年次の「卒業研究」では、私も担当する可能性がありますが、その際には、今回使った Mathematica の基盤になっている、計算代数や数式処理の理論について学ぶコースも用意すると思いますので、興味のある人にはぜひ、数式処理システムにも触れながら、この分野の勉強も続けてもらえればと思います。

それから、これはクラス担任としてのコメントですが、今回の履修者の多くは、おととし春に入学した数学類の人達で、早いもので入学からもうすぐ2年、大学生活の折り返し点にさしかかっています。大学生活後半の2年間も、皆さんにとって実り多いものになることを望みます。

平成24年度 第3学期 数学類クラス連絡会

今日の夕方、学生と教員の懇談会が行われました。出席するのはたしか昨年2月の会以来だったと思います。

今回は、まず、2学期の授業評価アンケート結果の報告があり、それから福利厚生に関する学生からの要望について、討論が行われました。今回のテーマは「ペデストリアン（ペデ; キャンパスを貫いている（というか、筑波の学園都市中心部を貫いている）歩行者自転車専用道で、学内のペデは学生の主要な通学路の一つ）が雨が降ると滑りやすくて危険」と「宿舎の暖房について」でした。

「ペデが雨で滑りやすい」話題に関しては、数学類生が主にいる第一エリアについては、昨年改修工事が行われたので、以前程滑らないのではないかという指摘があった他、利用者のマナーの向上が先という意見が出されていました。

一方「宿舎の暖房について」では、具体的な要望として「暖房は期間を区切って始まるが、それ以前にも寒い日があるので、気温を基準に暖房を入れてほしい」という要望と、「暖房の運用時間が現状では午後11時までであるが、学生はそれ以降の深夜も活動する人が多いので、運用時間を延長する、もしくは遅い時間にずらしてほしい」というものでした。宿舎の暖房設備は、いわゆるセントラルヒーティングで、部屋毎に入れたり切ったりすることができないので、なかなか難しい問題ではあると思います。

さて、昨年の連絡会の際には「議論は低調」といった感想も書きましたが、今回残念だったのは、授業評価アンケートに関する学生と教員の意見交換がなかったことです。この点は、本会の最後の方で先生方からも指摘がありました。福利厚生の問題も重要である点は理解できますが、学生と教員の意見交換が行われない状況では、教員が連絡会に出席する意義を疑わざるを得ないところです。この辺、運営するクラ代会（クラス代表者会議）の論点の設定のしかたや議論の掘り下げ方に、昨年以上により一層の工夫を望みます。

あと、本学で来年度から導入される GPA (Grade Point Average) 制度も話題になりました。GPA は、学生の成績の A, B, C などを点数化して、評価対象となる授業でその平均値をとるというもので、本学では、来年度から始まる2学期制の導入をはじめとする授業運営体制の改革の一部となっています（PDF資料）。

GPA については学生の関心も高いようで、数学類長の笠原先生との質疑応答も行われました。他学類では、卒業研究の配属にあたって、GPA が高い学生から優先的に希望先に配属されるといった制度がある（学生の指摘）ようですが、数学類では、GPA を学類内でどのように使うかは、現在のところまだ決まっていないというのが答えでした。今後、GPA をどのように使っていくか、検討が行われるものと思われます。

というあたりで今回は時間になりましたが、今後も学生と教員の意見交換の場が有効に活用されることを望みたいと思います。

微積分演習（生物）（第8回）

今日もいつも通り授業が始まりました。水曜日の講義の方は、今週から複素解析に入ったとのことで、早速レポート課題が出たそうなので、それについての検討を行いました。その中では、複素関数が正則（微分可能）であるための必要条件として知られている「コーシー・リーマンの微分方程式」などについて説明しました。

授業の後半では、重積分の変数変換に関する計算問題を発表してもらいました。次回も引き続き、演習問題に取り組みたいと思います。

微積分III演習（第7回）

今日は、実数の連続性に関する問題を発表してもらい、特に上極限や下極限の概念や計算に関する復習を中心に行いました。それから、関数の極限に関する ε-δ 法の使い方も行いました。

数学の概念を他人に正しく説明するのは、最初のうちはなかなか大変な部分もあると思います。今日、説明してもらった人も、苦労しながら頑張っていました。ある事実をきちんと説明できるためには、その事実がどのようにして成り立っているか、なぜその事実が正しいと言えるのか、説明に必要とされる定義や性質をよく理解しておくことが必要だと思います。

私も学生の頃、演習の授業中に先生に何度もツッコミを受けながら解答を説明した経験を思い出しましたが、こうした経験を通して、数学を学ぶとともに、何かを身につけて使いこなすというのがどういうことかを学んだと思います。履修者の人達が現在学んでいる数学の授業は、こうした思考や学習のトレーニングの機会としても有効だと思いますので、残り少ない授業期間ですが、頑張ってほしいと思います。

次回は、関数の極限に関する話題を中心に扱います。

計算機演習（第7回）

今日の授業では、新しいテーマとして、金融計算の基礎を取り上げました。四捨五入、単利と複利の計算や、元利均等返済などの概念を、国民年金保険料の納付などを例に説明しました。

天野先生が作られた授業テキストでは、国民年金保険料を納める際に、1年前納もしくは半年前納を行った際の割引額の根拠について、複利法で納付金の現在価値をもとに算出されることが具体的に説明されています。その他には、クレジットカードで分割払いをする際の元利均等返済の原理についても説明されています。

レポート課題では、平成25年度の国民年金保険料を前納した場合の納付金額や、住宅ローンの組み方といった課題が出ました。特に住宅ローンの計算は個人的にも興味深いテーマです。これまでのレポート課題の中では比較的難易度が高い課題だと思いますが、基本的な考え方をよく理解した上で、課題に取り組んでもらいたいと思います。

早いもので次回はこの授業の最終回です。次回はフラクタル図形の描画を取り上げます。