計算機数学II (2019) 第10回：偏微分方程式 (2)

今回は、偏微分方程式の数値解法の2回目で、双曲型（波動方程式）および楕円型（ラブラス方程式）の偏微分方程式に対する差分法を説明し、各解法における安定性の条件について議論しました。

以上で、この授業を一通り終えますが、この授業では、数値計算における基本的な問題に対する手法を概観しました。この授業が、世の中で広く使われている数値計算を理解する上でのヒントになり、さらに先を学ぶ上でのきっかけになれば幸いです。

計算機数学II (2019) 第9回：偏微分方程式 (1)

今回と次回で、偏微分方程式の数値解法を紹介します。

今回は、まず、この授業で扱う偏微分方程式として、放物型、双曲型、楕円型の3種類の偏微分方程式と、それぞれの例題をを紹介しました。次に、放物型の偏微分方程式の一つである拡散方程式を解くための差分法について、陽解法と陰解法の2種類の差分法を説明し、各解法の安定性の条件について説明しました。

次回がこの授業の最終回ですが、次回は残った2種類（双曲型、楕円型）の偏微分方程式について、差分法による各解法や安定性の条件について説明します。

計算機数学II (2019) 第8回：常微分方程式 (2)

今回は、前回に引き続き、常微分方程式の数値解法の説明を行いました。オイラー法、ホイン法、ルンゲ-クッタ法の各アルゴリズムを紹介したのち、各アルゴリズムによる計算例と、差分法の不安定性について紹介しました。

次回からは偏微分方程式の数値解法を扱います。

計算機数学II (2019) 第7回：常微分方程式 (1)

今回と次回では、常微分方程式の数値解法を扱います。

今回は、常微分方程式の種類と問題例を紹介したのち、微分方程式の差分化による差分方程式の導出について説明しました。

次回は、差分法のアルゴリズムを紹介し、代表的な問題に対する差分法の計算について説明します。

計算機数学II (2019) 第6回：数値積分

今回は、1変数関数の定積分の計算法として、台形則、シンプソン則およびその一般化であるロンバーグ積分法を紹介しました。

次回からは常微分方程式の解法について説明します。

計算機数学II (2019) 第5回：曲線の推定 (2)

今回は、前回のラグランジュ補間のアルゴリズムに続き、ラグランジュ補間の誤差評価を行った後で、スプライン補間と最小二乗法について説明しました。

次回は数値積分の説明を行う予定です。

計算機数学II (2019) 第4回：方程式の根、曲線の推定 (1)

今回は、前半で、1変数方程式の近似解法として「2分法」および「ニュートン法」を紹介しました。後半では、曲線の推定方法の一つとして「ラグランジュの補間法」を紹介しました。

次回は、ラグランジュの補間法の誤差評価を説明し、曲線の推定の後半として、スプライン補間法と、最小二乗法について説明します。

計算機数学II (2019) 第3回：連立1次方程式 (2)

今回は、連立1次方程式の解法から「反復法」と呼ばれる方法、具体的にはヤコビ法、ガウス・ザイデル法、SOR法を紹介しました。

連立1次方程式の説明は今回で終わりです。次回は（非線形）方程式の数値解法と、関数補間の話題に進みます。

計算機数学II (2019) 第2回：連立1次方程式 (1)

今回と次回の授業では、連立1次方程式の解法を紹介します。

今回は、「直接法」と呼ばれる解法から、おなじみガウスの消去法とLU分解による解法を紹介しました。普通、数学におけるガウスの消去法は行簡約から簡約階段行列の計算でおしまいですが、今回は、枢軸選択（ピボッティング）により、アルゴリズムを正しく動かす、もしくは数値解の精度を向上させる部分も説明しました。

次回は「反復法」と呼ばれる解法を紹介します。

計算機数学II (2019) 第1回：数値計算へのガイド

本年度も秋学期に数学類開設授業科目「計算機数学II」を担当します。

この授業では、数値計算を扱います。今回は、数値計算の目的や用途、数値計算の流れ、浮動小数や誤差、計算量、その他の基礎事項を扱いました。

次回は連立1次方程式の解法を紹介します。

計算機数学I (2019) 第15回：高速フーリエ変換 (FFT) を用いた1変数多項式の高速乗算法

今回は、この授業の最終回で、離散フーリエ変換 (Discrete Fourier Transform, DFT) と高速フーリエ変換 (Fast Fourier Transform, FFT) に基づく1変数多項式の高速乗算アルゴリズムを紹介しました。

以上で春学期の講義が一通り終わりました。今回は、整数や多項式を主な対象にした代数的なアルゴリズムの構成や計算量評価を中心に行いました。この授業が、構成的な数学を知る上での一助になることを望みます。

計算機数学I (2019) 第14回：Karatsubaの高速乗算法

今回と次回は1変数多項式の高速乗算法の紹介で、今回は、Karatsuba（カラツバ）による1変数多項式の高速乗算法を紹介しました。

次回がこの講義の最後の授業ですが、次回は離散フーリエ変換と高速フーリエ変換 (FFT) を用いた高速乗算法を紹介します。

計算機数学I (2019) 第13回：除算の計算量

前回の授業で、モジュラー算法の計算量を行った際、除算や中国剰余算法の計算はまだ出ていませんでした。そこで今回は、1変数多項式の除算や中国剰余算法の計算量の評価を行いました。

次回から1変数多項式の高速乗算法に関する説明に入ります。次回はカラツバ (Karatsuba) による高速乗算法の紹介を行います。

計算機数学I (2019) 第12回：行列積の法計算

今回は「モジュラー算法」と呼ばれる一連のアルゴリズムについて紹介しました。これは、多倍長整数でコストがかかる計算を、複数のより小さな整数を法とする剰余環に分けて計算し、複数の計算結果を中国剰余定理で合わせて整数上の計算結果を復元する方法です。

今回は、モジュラー算法の中から、行列積の計算を取り上げ、中国剰余算法を用いたアルゴリズムと、その計算量の見積もりを行いました。

次回は、今回の計算で出てきた、除算の計算量の見積もりと、中国剰余算法の計算量の見積もりを行います。

計算機数学I (2019) 第11回：有理数の再構成

今回は、拡張Euclid互除法の応用の一つとして、有理数の計算を剰余環に埋め込み、剰余環での計算結果から有理数の計算結果を再構成する方法を紹介しました。

次回は、中国剰余算法の応用から「行列積の法計算」を紹介します。

計算機数学I (2019) 第10回：中国剰余算法

今回は、拡張Euclid互除法の応用例として、中国剰余定理を構成的に証明し、連立線形合同式を拡張Euclid互除法を用いて解く「中国剰余算法」を紹介しました。

次回は、拡張Euclid互除法の応用例として、有理数を剰余環に埋め込んで計算し、有理数の計算結果を再構成する手法について説明します。

計算機数学I (2019) 第9回：実数の連分数展開

今日は、前半では拡張Euclid互除法に関する性質を紹介しました。後半では、有理数の連分数展開をEuclid互除法を用いて行う方法と、無理数の連分数近似を同様の手順で行う方法について紹介しました。

次回は、中国剰余算法について説明する予定です。

計算機数学I (2019) 第8回：法逆元の計算

今回は、拡張Euclid互除法の性質を紹介した後、応用の一つとして、剰余環における乗法の逆元（法逆元）の計算法を紹介しました。

次回は実数の連分数近似について触れます。

計算機数学I (2019) 第7回：拡張Euclid互除法

今回から、主に1変数多項式に対するEuclidの互除法を中心にした説明に移りました。今回はまず、Euclidの互除法と拡張Euclid互除法を紹介しました。

次回からしばらくは、拡張Euclid互除法の応用を扱います。次回は法逆元の計算法を扱う予定です。

計算機数学I (2019) 第6回：乗算，剰余つき除算

今回は、1変数多項式および多倍長整数の乗算、それから1変数多項式の除算のアルゴリズムと計算量について説明しました。

次回からはEuclidの互除法に進みます。