お気楽さんすう屋さんateruiの小技とお知らせのまとめです。
"easy arithmetician" aterui's spot for tips and announcements.
今回は、前回最後の方で説明したいくつかの定理を復習の後、逆行列の計算について説明しました。ここは、教科書の例題を、数式処理システム Mathematica の計算でデモンストレーションしながら説明しました。
その後、連立1次方程式の話題に入りましたが、今回は係数行列をはじめとする術語の説明で時間がきましたので、ここで終了となりました。
次回は、連立1次方程式の解の個数や表現を、係数行列からどのように調べるかという話題から話を続けたいと思います。
授業サポートページ：https://www.math.tsukuba.ac.jp/~terui/la1-2013
今回は、前回の授業の続きで、拡張 Euclid 互除法の余因子 (cafactor) の次数上限の証明と、余因子の一意性の証明を行いました。そして、拡張 Euclid 互除法をアルゴリズムの形で提示して時間となりました。
次回からは、多項式剰余列計算の際に生ずる係数膨張などの問題点を紹介し、その対策の話題に入りたいと思います。
今回から教科書の第2章に入りました。今回は、行列の行変形、および、行変形による簡約階段行列への変換について説明しました。
授業の最後に、行変形の計算例を、数式処理システム Mathematica で実際に計算しながら説明しましたが、時間が十分でなかったため、デモンストレーションの前の定理の説明が一部不十分になったと思いますので、次回適宜復習しながら進めたいと思います。
次回は、今回の簡約階段行列に関する性質を復習し、逆行列の計算や連立1次方程式の話題に進みたいと思います。
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今回は、前回の「特殊な行列」の話題の残りの部分から入りました。まず、教科書の例題として「すべての正方行列は、対称行列と交代行列のわに一意的に表される」性質を紹介し、つづいて上三角行列と下三角行列の定義を行いました。
後半では、正則行列と逆行列の定義を説明し、「正則行列の積もまた正則行列」や「正則行列の転置行列もまた正則行列」といった性質を紹介しました。
今回で、教科書の第1章「数ベクトルと行列」による道具立ての準備は終わりとし、次回から、教科書第2章「連立1次方程式と行列」にて、連立1次方程式と行列の関係を見ていきたいと思います。
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今回はまず、前回の時間にシステムの不具合でできなかった、MathLibre 2013 のデモンストレーションを行いました。今度はシステムが無事起動し、ひとまず、ソフトウェアの紹介ページを紹介して（くどいですが）説明しました。
その後、Euclid の互除法について、前回、証明が途中までで終わった "GCD recursion theorem" の証明の残りを説明しました。後半では、拡張 Euclid 互除法の説明に入りました。拡張 Euclid 互除法の定理の証明は、余因子 (cofactor) の次数に関する性質の証明の途中まで行ったところで、今日は時間になりました。
次回は、拡張 Euclid 互除法の定理の残りの部分を説明し、同アルゴリズムの説明を行う予定です。
今回は、特殊な行列として、転置行列、対称行列、交代行列、対角行列、スカラー行列を紹介しました。授業の後半では、教科書の例題により、ある条件をみたす行列がスカラー行列になるという命題を説明しました。
次回は行列のブロック分割について説明し、時間に余裕がありましたら、正則行列の説明を行う予定です。
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今回は、行列の積（乗算）の定義から始めました。そして、行列の積の結合法則の証明を、3行3列の場合を例に取り上げて行いました。
次回は、転置行列や対称行列などの特殊な行列と、それらに特有の性質を紹介します。
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今回から、1変数多項式の最大公約子 (GCD) の話題に入りました。今年度の授業の残りの時間はこの話題が中心になると思います。
今回は、Euclid の互除法のアルゴリズムと、Euclid の互除法の理論的根拠を与える "GCD recursion theorem" を紹介し、同定理の証明の前半を説明して終わりました。
授業時間の残り5分程度で、最初の時間に配った MathLibre 2013 DVD のデモンストレーションを行おうとしましたが、DVD がうまく起動しませんでしたので、授業はそのまま終わりとしました。授業終了後、パソコンの電源を切ってもう一度電源を投入すると DVD が起動しましたが、デモンストレーションは次回行いたいと思います。
次回はMathLibre 2013 DVD のデモンストレーションを行うとともに、今日の定理の証明の続きを行い、 拡張 Euclid の互除法に進みたいと思います。
今回は、行列の定義から始めました。行列の定義と用語を順次説明し、行列の和とスカラー倍を定義しました。
そして、行列の積の定義を行う前に、和の記号について説明したところで時間となりました。和の記号（Σ）は高校数学からなじみ深いと思いますが、インデックスのとり方の表記として、自然数の部分集合などからインデックスをとってくる表記法は、まだなじみが薄い人もいると思うので、この機会に慣れるとよいのではないかと思います。
教科書にある、行列の和とスカラー倍に関する性質は、の証明は、数ベクトルにおける証明と同様ということで、時間の都合で省略しました。講義ノートの方には記載していますので、適宜参考にしてほしいと思います。
今回はレポート課題を出題しました。締切は次回5月17日の授業時です。次回は行列の積の説明から入ります。
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今回は、前回に引き続き、複素数の説明から始めました。授業の前半では、偏角と、四則演算のうち除算を除く演算の定義を説明しました。それから、オイラーの公式（特に「オイラーの等式」も含めて）の紹介を行いました。
授業の後半では、n項数ベクトルの定義や演算などの説明を行いました。これらは基本的に、以前説明した平面ベクトルの定義や演算などと同様であるため、説明の詳細は省きましたが、本来説明したかった内容は講義ノートの方に書いてあります。
今回は行列には至りませんでした。次回は行列の定義から始める予定です。
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今回は、計算量の表記法について説明した後、1変数多項式の四則演算の計算量解析について説明しました。
今回、計算量の基本とした演算は、係数どうしの加減乗除で、これを伴わないような単項や多項式の和は除きました。この辺は、計算機における多項式の内部表現と合わせて議論する必要があると思いますが、ひとまず単純な解析をしています。なお、擬剰余の計算量解析をレポート課題にしました。
次回からは1変数多項式に対する拡張 Euclid の互除法を扱う予定です。
今回は、1変数多項式の四則演算のアルゴリズムの続きで、減算、乗算、擬除算の定義を行いました。それから、計算量の紹介をちょっと行ったところで時間になりました。
次回は計算量の評価の際に現われる O 記号の定義について説明した後、これまでに授業で定義した、1変数多項式の四則演算のアルゴリズムについて、それらの計算量を見積もる予定です。
今回は、まず内積に関する公式の証明を行いました。教科書の証明をより一般的な状況で考える必要があることが、自分が予習をやっていてわかりました。
引き続いて複素数の説明に入りました。複素数の説明では、複素数の定義を行い、複素平面を考えることにより、複素数と平面ベクトルを対応づけることができることを説明しました。
次回は複素数の後半として、偏角の定義や四則演算を説明し、それから一般の数ベクトル空間を紹介して、行列の定義に進む予定です。
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今日は「任意の平面ベクトルがそれらの線形結合で表されるようなベクトルはどのようなものか？」という疑問から、平面ベクトルの線形独立（1次独立）の概念の導入を行い、ついで平面ベクトルの基底の定義を説明しました。それから、残りの時間で平面ベクトルの内積の定義を行い、内積に関する公式を提示したところで時間となりました。
次回は内積に関する公式の証明を行い、複素数の説明に進む予定です。
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今回はまず、アルゴリズムの基本的な事項として、アルゴリズムの要件と記法、制御構造について説明しました。後半では、1変数多項式の四則演算をアルゴリズムの形で書き下すことにし、今回はまず加法のアルゴリズムについて説明しました。
次回は、今回に引き続き、1変数多項式の四則演算のうち、減算からアルゴリズムの形で書き表すことについて説明します。
今日は、まず平面ベクトルの「生成」（「張る」ともいう）という言葉を定義した後、平面ベクトルの幾何的意味づけをするために、平面上の有向線分と平面ベクトルの対応づけについて説明しました。
普段は平面上の矢印をベクトルとして扱っていると思いますが、本来、平面上の有向線分は、図形として平面ベクトルとは関係をもたないものと見ることができますので、それらの対応を定義として与えることにより、平面上の有向線分と平面ベクトルを同じように扱うことができるようになります。これを経て、最後に、平面ベクトルの「生成」の幾何的な意味について説明しました。
次回はベクトルの線形独立の説明から始める予定です。なお、授業中に連絡を忘れてしまいましたが、来週4月23日（火）は学生定期健康診断の時間が重なるために休講にし、次回の授業は1週間後の4月26日（金）に行います。
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今日は、多項式演算を考える上での基礎として、まず、多項式環の中での記法や概念の定義に関する説明を行いました。
その後、多項式演算のうち、計算代数特有のものとして「擬除算」の説明を行いました。最後に、擬除算の計算を1題、レポート課題として出題しました。
次回はアルゴリズムの基本的な事項や記法について説明する予定です。
今日から本格的な授業が始まりました。
今日はまず、数学における「定義」や「定理」などの議論の進め方を紹介しました。数学に置ける議論の進め方は、チェスや将棋のようなゲームの分析の進め方と対応づけることができると思います。線形代数といった理論は、ある世界にルールを設定してゲームを行うようなもの、ともとらえることができます。数学における「定義」によってゲームのルールを設定し、「定理」は、ゲームにおけるある盤面（が存在すること）で、定理の証明は、ゲームのスタートからルールに従ってゲームを進め、ある盤面に到達可能であることを示すといった具合です。
次に、これから行う春学期の授業内容について、概要を説明しました。春学期の「線形代数I」では、数ベクトルと行列、連立1次方程式を行列の消去法を使って解く解法、行列式の定義と性質、数ベクトル空間と線形写像、といった内容を説明します。
その後、数ベクトルの定義に入り、ベクトルのスカラー倍や和の演算、線形結合の定義を行いました。
次回は、平面ベクトルの幾何的な意味を説明し、線形独立（1次独立）の概念を説明します。
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今年度は、春学期の「線形代数I」（化学類対象）の講義を担当することになりました。内容は、数ベクトル、連立1次方程式の解法、行列式といった内容で、線形写像に入る手前までを扱います。
今年度の2学期制への移行により、時間割がだいぶ変わりました。これまで、線形代数の講義や演習は水曜日に行われることが多かった（近年、一部の学類では水曜日以外に移動もしていた）のですが、今年の講義は、火曜日と金曜日の週2回、毎週2時限ずつ行われます。
今日は、昨年の微積分の講義のときのように、最初の授業でしたのでガイダンスに徹しました。授業の概要、教材、単位などについて説明した後、大学での数学の学び方に関する話をしました。昨年のガイダンスはここまででしたが、今回は、線形代数の成り立ちや応用といった紹介も含めました。
授業で用いる教科書ですが、入荷が遅れており、今日、講義を担当される先生方と急きょ教科書の第1章の範囲をコピーして、履修者に配りました。納期等については、今後の状況を見なければわかりませんが、とりあえず、第1章を勉強している間に入荷することを期待しています。
今年も、昨年の微積分同様、授業のサポートページを作りました。今後の情報はサポートページの方にまとめていく予定です。 https://www.math.tsukuba.ac.jp/~terui/la1-2013
今日から今年度の大学院の授業が始まりましたが、早速、私の授業も始まりました。
私が担当する大学院の授業は、これまでと内容は同じで、5回目の担当になりますが、授業編成で昨年度からの変更点がいくつかあります。まず、2学期制への移行に伴い、これまでの「数理科学II」が、春学期（前期）の「数理科学IIA」と秋学期（後期）の「数理科学IIB」に分割されました。春学期の「数理科学IIA」を私が担当し、秋学期の「数理科学IIB」を田島慎一先生が担当される構成は昨年度と同じです。次に、この授業は今年度から教育研究科 教科教育専攻 数学教育コースの授業「情報数学概論IIA」を兼ねての開講になりました。
春学期の「数理科学IIA」では、おもに1変数多項式の最大公約式 (GCD) を計算する部分終結式算法を中心に、多項式演算やアルゴリズムの概要について説明します。今日は授業のガイダンスとして、授業内容の説明と、参考書や主な数式処理システムの紹介を行いました。次回から数学の話に入ります。次回は多項式環の基本的事項から説明する予定です。
今年度から教育研究科の授業を兼ねたためか、これまで片手で数えられるくらいだった履修者数が、今日は大幅に増えました。皆さんいずれ履修科目の取捨選択を行うとは思いますが、より多くの人が理解できる授業にしていきたいと思います。