お気楽さんすう屋さんateruiの小技とお知らせのまとめです。
"easy arithmetician" aterui's spot for tips and announcements.
今日は、健康診断のため、授業が短縮されて1時限のみとなりました。
今回は、前回に引き続き、Cantor の区間縮小法による実数の連続性の公理を説明しました。その後、教科書に記載されている実数の連続性の公理「有界な単調列は収束する」の説明のために、集合の上界、下界、上限や下限、数列の有界性といった用語の定義や性質を説明しましたが、結局、公理の説明までに至らずに、時間となりました。
次回は、今回の授業で残った連続性公理の説明をして、数列の収束や発散の定義や、数列の極限の性質について説明する予定です。なお、来週5月1日は木曜日の授業を振り替えて行うため、次回の授業は連休明けになります。
授業サポートページ：https://www.math.tsukuba.ac.jp/~terui/calculus1-2012
今日から実際の授業に入ったわけですが、今日はまず、学部（数学科相当）の授業でやるような、代数の基本的事項の復習（Euclid 整域、一意分解整域 (UFD)）や、多項式を扱うのによく使う用語（次数や主係数）の復習を行いました。
その後、1変数多項式の四則演算のうち、計算代数に特有の「擬除算」について説明しました。残りの時間で、アルゴリズムの基本事項の説明に入ったところで時間となりました。
次回は、アルゴリズムの基本事項の続きを行います。（計算量の説明の準備です。）来週4月30日は「昭和の日」の振替休日なので、次回の授業は5月の連休明けになります。
今年度は、微積分I（1学期、物理学類対象）の講義を担当することになりました。
今日の前半の1時間は、ガイダンスを行いました。ガイダンスの前半は、よくあるように、担当教員や教材の紹介、単位の取り方などを説明しました。後半では、大学での学習の意識や方法に関して、学生側の意識と、教員が学生に期待するものの間にギャップが感じられることから、大学の制度の特徴、望ましい心構えや学習方法の例について、説明しました。
後半の1時間は、集合や実数の区間の概念や記法について説明した後、実数の構成の説明に入り、有理数の構成まで行ったところで時間になりました。
次回の授業では、有理数の構成法の一つとして Cantor による区間縮小法を取り上げ、実数の連続性の公理などについて説明する予定です。なお、次回は、学生定期健康診断のため、4限は休講とし、5限のみの授業とする予定です。
あと、授業のサポートページを作りました。こちらに、授業の配布資料などを載せています。
今年度の大学院の授業は先週から始まっていますが、私が担当する授業は今日からです。
今年で4回目になる「数理科学II」の講義ですが、今回は、授業を行う1年間（3学期、9か月間）を前半と後半に分けます。前半は私が担当し、おもに1変数／多変数多項式の因数分解を中心に、多項式演算やアルゴリズムの概要について説明します。後半は田島慎一先生が担当され、多変数多項式環上のグレブナー基底や、微分作用素環とグレブナー基底の話をされる予定です。
今日はひとまず、授業のガイダンスとして、授業内容の説明に引き続き、参考書や主な数式処理システムの紹介、数式処理の（特に数値計算と比較した）特徴について説明しました。次回から数学の話に入り、次回は多項式環の基本的事項から説明する予定です。
このたび、筑波大学 数学域／数学専攻の計算機室にて、KNOPPIX/Math 2011 dojo DVD の配布を始めました。
KNOPPIX/Math は、DVD から起動可能な Linux オペレーティングシステムの１つである KNOPPIX に、各種のフリーな数学ソフトウェアを添付し、 数式処理、数値計算、可視化等のさまざまな機能を利用できるようにしたものです。
KNOPPIX/Math 2011 dojo は、科学技術振興機構 戦略的創造研究推進事業 CREST 数学領域 "数学と諸分野の協動によるブレークスルーの探索" の研究課題「現代の産業社会とグレブナー基底の調和」等の補助を受けて制作されたものです。
今回配布の DVD には、以下の3種類があります。
今回配布の DVD は、私と同じく計算機数学分野所属の田島慎一先生が配布元から配布を受け、私が管理して配布しています。 今年度の筑波大学 大学院数理物質科学研究科 数学専攻の新入生全員にも配布しています。制作、配布に携わったプロジェクトの方々に感謝します。専攻内で広く利用していただければと思います。
このたび、昨日から東京理科大学 神楽坂キャンパスで開催されている日本数学会 2012 年度年会の函数論分科会にて、田島慎一先生と共同で「行列の最小消去多項式を利用した固有ベクトル計算」という題目で一般講演を行いました。
これは、田島先生と以前から共同研究をさせていただいているテーマで、行列のレゾルベントの留数解析に関する田島先生らの研究成果に基づいて、行列の固有ベクトル計算を速くしようというテーマです。
行列の（厳密な）固有ベクトルの計算は、一般に手間のかかる計算で、計算代数の分野としてもこの計算の効率化は興味深いトピックの一つであると思います。田島先生らは、従来から、行列のレゾルベントの留数解析に基づき、これらの計算を多項式計算を用いて効率化を図る研究に取り組んでいます。今回の話では「最小消去多項式」を利用して固有ベクトル計算を効率化するというテーマで私もお誘いいただきました。田島先生は算法の理論面を作られ、私は主に算法の実装やベンチマークテストを担当しています。
今回の発表は、昨年開催の同学会年会で発表予定でしたが、東日本大震災の影響を受け、年会が中止になりました。その後、日本数学会の取り扱いにより、昨年の年会の研究発表は成立したものとし、その時の一般講演を、昨秋の秋季総合分科会か、今回の年会で発表できることになりました。本発表はこの制度に基づいて今回発表したものです。
参考までに、今回発表に用いたスライドを載せておきます。より詳しい資料は、追って掲載したいと思います。
だいぶ古い話になりますが、3年前の2009年春に「数学特別講義」で行った講義を収録したビデオ録画を公開しました。
録画の公開は、講義を引き受けた時から念頭にあって、講義の模様を収録し、ティーチング・アシスタント (TA) の人に編集、マスタリングもしてもらって、あとは公開するだけの状態になっていました。しかし、大学のオープンコースウェア (OCW) では、動画ファイルをまるまる置いてダウンロードする形態で、現在一般的なストリーミング再生に対応していないこと、大学のセンターにあるストリーミング対応の設備を使うには費用や手続きがいろいろあること、Youtube などでは長時間の動画のアップロードができないこと、などから、しばらく作業を保留していました。
しかし、最近になって、Youtube が、携帯電話のメールか SMS の認証で、長時間の動画のアップロードに対応したことを知り、今回、公開してみました。録画は以下の通り参照できます。
あと、こちらは以前にも紹介しましたが、講義の際のスライドも、あらためて紹介しておきます。
この授業も今日が最終回となりましたが、今日は、2つのベクトル空間の基底とそれらの間の線形写像が与えられた時に、線形写像の表現行列を求める問題と、グラム・シュミットの直交化法の問題を発表してもらいました。
グラム・シュミットの直交化法は、ちょうど今日講義されたとのことです。解答者は、定理の計算手順通りに計算を行うことはできていたのですが、計算の意味まではまだあまり理解できていなかったようで、黒板の前で、私と一問一答を繰り返しながら徐々に計算を進めていきました。今日の講義の直後で大変だったとは思いますが、計算の意味を理解することも大切なことですので、今後よく復習して理解を深めてほしいと思います。
今学期のこの授業は、人数が30人程度と、板書と討論を行う授業としては人数がやや多めでしたが、発表を2回行うと単位を保証すると言ったこともあり、早々と2回発表して姿を見せなくなった人もいる一方、学期末の方では、やる気のある人が残り、授業の雰囲気もよかったのではないかと思います。次週は期末試験を行いますが、講義の試験にも生かせるよう、よく復習して試験に臨んでほしいと思います。
今日はこの授業の最終回でしたが、無限級数の収束判定の問題、関数の一様連続性に関する問題、実数列の上限や下限に関する問題を発表してもらいました。今回は期末試験は行わず、最終的な成績は期末レポートで判定しますので、レポートの提出も忘れずに行ってほしいと思います。
今年のこの演習のクラスは、前年度に増して受講した学生さん達が積極的に参加してくれたおかげで、授業で用意した演習問題は、実数の連続性に関するやや難しい問題を除き、ほぼ全部が授業で解かれました。授業中の討論にも多くの人が積極的に参加し、有意義な授業にしてくれたことに感謝します。皆さんの今後のさらなるご活躍を祈ります。
今週も、先週に引き続き、ベクトル空間の基底や次元に関する演習問題を発表してもらいました。
与えられたベクトルが生成する部分空間の次元を計算する問題では、与えられたベクトルから行列を構成し、この行列のランクを求めることにより、部分空間の次元を計算する手順がよく用いられますが、それがなぜ可能かということを理解しておくことも重要と思います。
次回は最終回の授業ですが、少しでも多くの演習問題が解かれるよう期待します。
今日は、授業の最終回で、フラクタル図形の描画に取り組みました。レポートの方はちょっと大変かもしれませんが、やりがいもあると思いますので、より多くの人が完成して提出することを望みます。
次回は「予備日」としていましたが、今回出題のレポートの締切日ですので、質問がある人のためのオフィスアワーとし、自由参加とします。
それから、今回の出席者に KNOPPIX/Math の DVD を配布しました。これは、DVD から起動できる Linux ディストリビューションの一つである KNOPPIX に、いろいろなフリーの数学ソフトウェアをインストールしたものです。次回、もし機会がありましたらデモンストレーションを行いたいと思います。
今日は、本年度最後の授業でしたが、多変数多項式の因数分解における一般 Hensel 構成として「一般化された Hensel の補題」を説明しました。そして、多変数多項式の因数分解の計算例を提示しました。授業時間をちょっと超過してしまいました。すみません。
以上で今年度の授業が終わりましたが、残念ながら、当初目指した、多項式の因数分解の実装にまでは至りませんでした。しかし、計算機やアルゴリズムの基本、多項式の表現や四則演算の実装を、Scheme の処理系とともに示した一方、因数分解のアルゴリズムにかかわる数学の説明を一通り行いましたので、計算数学の理論と実践の両面に触れたことが、履修者の皆さんにとってよい収穫になってくれることを願っています。
今回が、1学期のフレッシュマンセミナーから続いてきた、金曜6限の授業の最終回となりました。今日は、3学期の授業アンケートをとって終了しました。
冒頭、学生の皆さんにも申し上げましたが、来週は前期日程入試、早いもので受験した人達は1年が経つことと思います。昨年の入試の後で、震災があり、オリエンテーションの初日に入学式ができず、普段着で記念写真を撮ったり、オリエンテーション合宿では大きな余震に遭ったり、入学式を陸上競技場で行ったり... で、これから先どうなるか、と、新入生の皆さんの身を案じたことが幾度となくありましたが、全員元気でここまでくることができて、本当によかったと思います。
私ともう1人の担任の先生は、ともに、学年進行で持ち上がり、今年度の新入生の人達が卒業するまでのつきあいとなります。皆さんの今後のさらなる活躍を祈ります。
なお、このセクションの情報は、今後も、この学年に関するイベント等がありましたら随時載せていきたいと思います。
今日はこの科目の最後の授業で、まず、前回の続きとして、「オイラー線」に関する定理のうち、重心と外心の座標を計算し、ついで、定理の証明をしてもらいました。
最後の発表者は、第7章の残りの部分の解説で終わるだろうと思っていたところ、ぜひ次の章も発表したいとのことで、第7章の残りの部分は手早く済ませ、第8章「オイラーと組み合わせ論」を発表してもらいました。
第8章の内容は「撹乱順列」と呼ばれる順列の問題です。彼は、これを「居酒屋の帽子の問題」として、次のように説明してくれました。
n 人の友達どうしが、全員、異なる帽子をかぶって居酒屋に行き、マスターに帽子を預けて飲む。飲んだ後で、マスターから帽子を受け取ってかぶるが、その際、全員が、行きと異なる帽子をかぶる組み合わせは、全部で何通りあるか？それから、オイラーが、撹乱順列の個数を、n に関する漸化式で表したこと、ついで、これを n の（閉じた）式で表したことが紹介されました。そして、与えられた n に対し、居酒屋を出た全員が行きと異なる帽子をかぶる確率が、n をどんどん大きくすると 1/e (eは自然対数の底) に収束するという性質が紹介されました。
組み合わせ論の話に e が出てくるというのは、なんとも驚きです。最後に、彼は「e は（事実はともかくとして）実はオイラーの頭文字でないかという気がする」という話をして、発表を締めくくりました。
これまで、約半年にわたって、オイラーの数多くの業績のほんの一部に触れてきたわけですが、それでも、多くの数学者によって数学が紡ぎ継がれていく様子や、その中でのオイラーの見事な（時には大胆な）発想力など、得るものが大きかったのではないかと思います。ある人は、感想の中で「e や π といった神秘的な無理数が、数学に内在するあらゆる垣根を越えて登場する」ことから「数学の絆」を感じたと書いていましたが、この授業に出てきた私達も、授業を通して、数学の絆で結ばれていたのかな、と思いました。
授業に出てくれた皆さんには、これからも、このような数学の絆を見つけ、これを楽しみ、また、これを身の回りに広めていってくれれば、と思います。
今日も、先週に引き続き、ベクトル空間の基底や次元に関する問題を解いてもらいました。
今日の発表では、論証をたどるのにだいぶ時間をかけ、発表を聴いている人もなるべく理解できるようにしたつもりです。発表した人はおおむね問題の答えを理解していたようですが、聴く人によく伝わるような説明を心がけることが大切だと思います。
次回も引き続き、今回と同様の演習問題と取り上げます。
今日は、実数の連続性に関する問題に加えて、無限級数に関する問題も解いてもらいました。
問題発表の際に、「... が成り立つのは... なぜだっけ？」と詰まった人がいましたが、その場でちょっと議論をして、ちゃんと内容を理解して先に進むことができました。自分で問題を解いている際は気づかなかった部分も、発表の際に気づくことがあります。このような意味でも、人前で発表したり説明したりすることの意義があると思います。という場面に出会った今日の授業だったと思います。
来週も、引き続き、これまでに出題した演習問題を解いてもらいます。
今日は、プログラミングの初歩として、再帰的なルールに基づくプログラミングを行いました。
今回のレポート課題では、関数の微分を行うプログラムを作ってもらいましたが、微妙なところでプログラムがうまく動かず、TA の人達のサポートを受けながら作業を進める人が、例年よりやや多かったような印象を受けました。レポートの締切まで1週間ありますので、うまく動くプログラムが作られることを期待します。
次回は最終回で、フラクタル図形の描画を行います。