easyarithmetician's tips and announcements

2012-09-26

微積分II演習（第3回）

今日は、関数 z=f(x, y) 上の与えられた点 (a, b, f(a, b)) における接平面および法線の計算と、高階偏導関数の計算問題を扱いました。

それから、前々回のレポート課題を返却しました。評価したところ、ほとんどの人はよく理解できているようでしたが、細かい部分で指摘がある点については個々に指摘しています。

あと、前回のレポート課題を回収しました。今回も全員出席、全員提出でした。

2012-09-24

数理科学II（第14回）

今日は、多変数多項式の一般 Hensel 構成の概要を述べ、「一般化された Hensel の補題」を証明しました。最後に、多変数多項式の因数分解の一連の計算を行った計算例を、資料を配って紹介しました。

これで、本授業科目で今年度の私の担当分の授業は終わりました。多変数多項式の因数分解の部分では、与えられた多項式がモニックでない場合の主係数の扱いなど、残った部分もあります。この辺は将来まとめたいところですが、ひとまず、今回は多項式の因数分解について一通り説明しました。今後、履修者の皆さんが、パソコンなどで多項式の因数分解をする際に、その舞台裏への理解を深めてもらえれば嬉しく思います。

来月からの後半は、田島慎一先生の担当で、多項式環のグレブナー基底と微分作用素環の話が行われる予定です。履修者の皆さんの今後のご成功をお祈りします。

2012-09-19

数理科学II（第13回）

今回は、前回の Hensel 構成の説明を踏まえ、Hensel 構成に基づく整係数1変数多項式の因数分解の流れを説明しました。

次回は、私が担当する最終回ですが、多変数多項式の因数分解で中心的な役割を果たす一般 Hensel 構成を説明する予定です。

2012-09-12

微積分II演習（第2回）

今日の授業では、2変数関数の偏微分と全微分可能性を扱いました。

今日の授業は、防災訓練の直後の時間だったので、授業時間が短くなることを見込んで例題を少なくしていたのですが、防災訓練は案外早く終わりました。しかし、例題の説明の時間はそれなりにかかったので、今後はこの程度の例題を出すようにしようと思います。

先週出題のレポートは全員が提出しました。これから評価して次回の授業で返却する予定です。

来週9月19日は月曜日の振替授業日のため、次回の授業は再来週の9月26日になります。

防災訓練

今日、全学（筑波地区）の防災訓練が行われました。

午後1時30分に大地震が発生したとの想定で、まずは屋外に避難。人数確認や、災害時の各係分担が行われました。訓練終了まで、事務は窓口業務を停止、中央図書館は照明を消したりするようで、この辺は前回までよりも気合いが入っていたのではないかと思います。

大学の安否確認システムも稼働しました。統一認証システムでのログインにも対応したようです。しかし、今年5月の竜巻の直後は、動き出したサービスがあったにもかかわらず、統一認証システムの復旧が遅れ、ログインできない事象も見られたようですので、こういう場合も想定しておく必要はあるでしょう。この点、統一認証システムにログインしなくても入力できるシステムが並行して運用されていることは妥当ではないかと思います。

あと、これまで、学内には屋外の放送設備というのが見当たりませんでしたが、今回、整備したようです。私の仕事場から見える学群棟にも、写真ではちょっと小さいですが、数か月前だったと思いますが、スピーカーが取り付けられました。何の設備だろうと不思議でしたが、緊急時の放送設備のようです。

放送設備にしても安否確認システムにしても、大学の電源が生きていればこそ役に立つものです。東日本大震災の際は、地震発生とほぼ同時に全学が停電しました。電源の復旧は、各建物の中をチェックし、漏電や火災の危険がないことを確かめてからでなければ電気を通せなかったので、かなり時間がかかりました（週明けの3月14日頃に復電）。停電した場合の対応も考えておく必要があるでしょう。

ラジオは貴重な情報源になり得ます。震災の際、近くにいた大学院生の人がたまたまタブレット端末＋ radiko でラジオのニュースを流してくれて、どれだけ助かったかわかりません。それ以来、私は携帯用のラジオを持ち歩いています。

停電などで大学のサーバが止まったの際の情報伝達手段として、大学では Facebook に公式ページを設けたそうです。これは歓迎しますが、この機会に、より周知を徹底させた方がよいのではないかと思います（そろそろ学生さん達も気づいたでしょうか？ならよいのですが）。

その他、課題はまだあると思いますが、まずは訓練で試せる部分だけでも試しておくことが、本番の（ないことを祈りますが）備えにつながると思います。私の場合、安否確認システムにすぐにはログインできず、後から職員証を確認した上でログインしたので、訓練として役に立ったかなと思います。

2012-09-10

数理科学II（第12回）

今日は、1変数多項式の Hensel 構成について「Hensel の補題」の証明を中心に説明しました。

次回は、1変数多項式の Hensel 構成を用いた因数分解の全体について説明します。なお、来週は17日（月）が敬老の日で休みですが、19日（水）が月曜の授業日なので、次回の授業は19日（水）となります。

2012-09-05

微積分II演習（第1回）

2012年度の2学期は、化学類対象の「微積分演習II」を担当することになりました。今日、初の授業が行われました。

今日は、2変数関数の極限値と連続性の問題を取り上げました。化学類の演習は人数が多い（50人弱の化学類生全員が1クラスで演習の授業を行う）ので、まず、授業の前半で、私が例題を解説し、その後、各自が演習問題に取り組むという形式で授業を行います。学生の板書による発表も、全員分やってもらう時間と場所がないので、演習問題はレポートで提出してもらい、成績を評価します。

今日は最初の解説の時間がやや長くなってしまったのが反省点で、次回からはなるべく演習問題を解く時間をとれるようにしたいと思います。授業はティーチング・アシスタント (TA) の大学院生2人と進めますが、TAの2人は1学期のこのクラスの演習を担当しており、私よりも「先輩」に当たるわけで、早速学生さん達の質問に対応しており、助かります。

次回は、前の授業時間の終了時より防災訓練が予定されているので、防災訓練が終わり次第、授業を始めたいと思います。

2012-09-03

数理科学II（第11回）

今日から2学期の授業が始まりましたが、今回から、整係数1変数多項式の因数分解（Hensel 構成）の話題に入りました。

今回は、準備として、拡張 Euclid の互除法に関する定理をいくつか説明しました。次回には、Hensel 構成の説明に入りたいと思います。

2012-08-20

微積分I・II 科目連絡会

大学もお盆の一斉休業を終え、今日から通常業務に戻りましたが、今日、標題のミーティングがありました。

筑波大学数学類が開講する、1年生向けの数学（微積分と線形代数）の授業は、学期毎に科目が分かれており、2学期からは新しい授業科目で、内容は前の学期の内容の続きとして、授業が始まります。その際、授業によっては講義や演習の担当者が変わることがあるので、1学期の授業の進行状況を2学期の授業に引き継ぎ、授業の「継ぎ目」をなめらかにすることや、各授業間で授業の進行スケジュールを確認することなどを目的として、毎学期の授業開始前（あるいは開始直後）に、このような連絡会を開催しています。今回、私は1学期の「微積分I」の講義担当者として、連絡会に出席しました。

連絡会では、各授業の講義と演習ごとに、授業担当者が1学期の授業の進度、履修者数、成績評価状況などを報告し、2学期の授業担当者と、授業の進度を確認しました。全体でのミーティングは1時間程度で終わりました。

私は、2学期は「微積分II演習」の化学類向けの授業を担当します。その昔、自然学類だった頃は、1学年8クラス（1クラスの人数が30人程度）でクラス単位に分かれて演習の授業を行っていましたが、学類改編で数学・物理・化学・地球の4学類に分かれてからは、化学類と地球学類は演習の授業が1クラスになったため、演習の1クラスの人数が増えました。化学類は50人程度の履修者数が見込まれています。このような大人数での演習の授業を担当するのは私は初めてですので、1学期担当された先生と打ち合わせを行い、授業の進め方についていろいろ教えていただきました。この打ち合わせも含めて、お昼前にミーティングが終わりました。

授業開始まであと2週間となりましたが、徐々に準備を進めたいと思います。

2012-08-01

RIMS 共同研究「数式処理研究の新たな発展」一般講演

ほぼ1か月前になりますが、去る7月4日に、京都大学数理解析研究所で開催された RIMS 共同研究「数式処理研究の新たな発展」にて、2件の発表を行いました。

1件目は、田島慎一先生、小原功任氏との共同で「行列の最小消去多項式候補を利用した固有ベクトル計算の並列化」という発表でした。実際のところ、発表した内容は、昨年の同じ研究会で発表した、行列多項式に対するホーナー (Horner) 法の並列化の試みで、発表の時点ではまだいろいろ検討の余地が残されています。

もう1件は、単独で「近似GCD 算法GPGCD の最近の進展」という発表でした。内容は、主に、同時期に採録された論文において、新たに行った実験結果の報告でした。

GPGCD: An iterative method for calculating approximate GCD of univariate polynomials (to appear in Theoretical Computer Science)

(English text follows Japanese)

今回、標題の論文が、Theoretical Computer Science の特集号（数式・数値融合計算に関する国際会議 SNC 2011 Symbolic-Numeric Computation）に採録され、掲載されることになりました。

論文の内容は、1変数多項式の近似公約子 (GCD) 算法の一つとして私が研究してきた "GPGCD" と呼んでいるもので、2009年に国際会議で出版した2本の論文の成果をまとめ、新たな成果を加えたものです。

一般的に、国際会議の論文はページ数に制約があり、細かい部分まで丁寧に説明できないことがあるので、この論文ではそうした部分も詳しく書いています。それから、計算機実験では、新たな問題例を取り上げるとともに、これまでに比較した1つの近似GCD算法に加え、新たにもう一つの近似GCD算法とも比較を行い、それぞれの算法の長所や短所を明らかにしています。

論文のプレプリントは、プレプリントアーカイブ arXiv からダウンロード可能です。http://arxiv.org/abs/1207.0630

My newest research article entitled as in the above has been accepted for publication in Theoretical Computer Science: Special issue of SNC 2011 (International Workshop on Symbolic-Numeric Computation).

This paper contains "GPGCD", an algorithm for calculating approximate greatest common divisor (GCD) of univariate polynomials which has been presented in two international conferences in 2009, with integrating previous results and adding new results.

Sometimes it may be difficult to present every research result in detail in conference proceedings since they usually have upper limit of pages that are usually tighter than those in scientific journals. In the present article, I explain topics that have been omitted or left by just short explanation in detail. Moreover, in computer experiment, I have compared my algorithm with two competitive algorithms, one of which is newly added in this version, with many new examples to discover advantages and disadvantages of each algorithms.

You can obtain preprint at the preprint archive arXiv (http://arxiv.org/abs/1207.0630).

2012-06-26

微積分I（第10回）

今回がこの授業科目の授業の最終回でした。今回は、三角関数の有理関数の積分 (u = tan(x/2) の置き換え) と、広義積分（絶対収束を除く部分）について説明しました。

以上で、1変数関数の積分法を一通り説明しましたが、教科書に記載がある部分で説明できなかったものは以下の通りです。

Riemann 積分の定義
無理関数の積分
広義積分の絶対収束（ガンマ関数やベータ関数を含む）
定積分の応用（曲線の長さ）

微分のときもそうでしたが、時間の都合上、割愛しなければならなかった話題の中にも、今後各自が必要とするかもしれない話題も含まれていると思いますので、必要に応じて学習を補ってほしいと思います。

さて、これで1学期の授業が終わりました。私もこの講義は初めての担当で、手探りで進めてきた部分もありますが、1学期の内容をよく理解して、さらに2学期、3学期と微積分の学習を続けてもらえればと思います。1学期間ありがとうございました。あとは来週の期末試験に向けて、1学期の内容をよく復習した上で、試験に臨むことを期待します。

授業サポートページ：https://www.math.tsukuba.ac.jp/~terui/calculus1-2012

2012-06-25

数理科学II（第10回）

今回は、まず、前回証明していた定理（triangular idempotent form と呼ばれる形式の行列 L に対し、L の零空間の基底は、 I-L （I は単位行列）の非ゼロの行ベクトルで表されること）の証明の残りの部分を説明しました。そして、因数分解の計算例を説明して、授業を終えました。

これで、有限体上の1変数多項式の因数分解を行う Berlekamp の算法の説明は一通り終わり、1学期の授業も今回で終わりました。私の担当は、今年度の前半の予定ですので、2学期の9月いっぱいとなりますが、2学期は、整係数1変数多項式の因数分解（Hensel 構成）と多変数多項式の因数分解（一般 Hensel 構成）について説明する予定です。今日は夏には程遠いような涼しい（肌寒い）気候ですが、それでは皆さん、よい夏休みを。

2012-06-19

微積分I（第9回）

今回の授業の前半では、いくつかの基本的な不定積分の公式を説明した後、置換積分法と部分積分法について説明しました。後半では、有理関数の積分として、部分分数分解について説明し、その後、部分分数分解で得られる各項の積分の計算を一通り説明しました。

次回が1学期の授業の最終回（したがって、この授業科目の最終回）ですが、次回は、三角関数の有理関数の積分の計算と、広義積分を中心に説明する予定です。

授業サポートページ：https://www.math.tsukuba.ac.jp/~terui/calculus1-2012

2012-06-18

数理科学II（第9回）

今回は、まず、f-reducing polynomial の計算が、ある行列の零空間の計算に帰着されることを示しました。次に、因数分解の計算の流れを示した後、行列の零空間の基底の計算の具体的な方法について説明しました。

行列の零空間の基底の計算では、与えられた行列を、列基本変換を用いて triangular idempotent form と呼ばれる形式に変換し、その行列を L とすると、行列 I-L （I は単位行列）の非ゼロの行ベクトルが零空間の基底になることを、定理で説明しましたが、定理の証明の最後の部分を残して時間となりました。

次回は、今回残った定理の証明を述べた後、因数分解の算法の残りの部分を説明し、有限体上の1変数多項式の因数分解に関する説明を終えたいと思います。

2012-06-12

微積分I（第8回）

1学期の微積分の授業も残すところあと3回ですが、今回から積分の話に入りました。

今回は、前半で、積分学の成り立ちについて、特に、高校で習った順番との違いを取り上げながら説明しました。

高校の微積分の授業や教科書では、まず原始関数の一般的な形を不定積分と習い、原始関数を用いて定積分を定義するので、「微積分学の基本定理」を学んだ際、どうも当たり前のことにしか思われず、わざわざ定理として記述することの意義を、高校生だった頃の私も不思議に感じたものです。しかし、歴史的な経緯をたどると、原始関数と定積分は独立に考えられ、「微積分学の基本定理」において、両者が関連づけられています。今回は、こういった内容を説明しました。

授業の後半では、定積分の基本的な性質と「微積分学の基本定理」について説明しました。

次回は、基本的な不定積分の計算をいくつか取り上げて説明する予定です。

授業サポートページ：https://www.math.tsukuba.ac.jp/~terui/calculus1-2012