数学特別講義I（第1回）：オイラーの数学

数学特別講義の授業ですが、初めて講義を分担した一昨年度、世話人を務めた昨年度でお役御免になるかと思っていました。しかし、今年度は、数学類新入生のクラス担任として、三たび登板することになりました。

昨年度、世話人として全部の授業に出席して、各先生方の講義がなかなかおもしろかったので、今年度も、都合がつく限り、一通りこの授業に出席することにしました。そして、随時、講義内容をお伝えしたいと思います。

第1回の今日は、木村達雄先生による「オイラーの数学」でした。オイラーは、18世紀の数学者 (1707–1783) で、数学のほぼすべての分野にわたって大きな業績を遺していますが、今日4月15日がちょうど彼の304回目の誕生日ということで非常にタイムリーな講義になりました。今回は、3つの話題を用意してきたものの、時間の都合で2つの話題に絞って講義をされました。

話題の1つめは、ガンマ関数でした。ガンマ関数は、本来自然数に対して与えられた階乗の概念を、任意の（実）数に拡張したものとしても知られており、ガンマ関数にはいろいろな表現が知られています。その中から、オイラーが発見した、ガンマ関数の無限積を用いた表現を取り上げました。その証明は、なかなか文献に載っていないそうですが、木村先生ご自身による証明の導出が説明されました。こういったことをちゃんとご自分でフォローするあたりも、先生らしいなと感心しました。

もう1つの話題は、「初等整数論の基本定理」に基づく、ゼータ関数の無限乗積表示についてでした。「初等整数論の基本定理」は、すべての自然数が、素数の積に一意的に（ただ一通りに）表されるという性質ですが、オイラーは、ゼータ関数をすべての素数にわたって表される有理数の積（オイラー積）で表しました。そして、オイラー積を用いることにより、 ζ(2), すなわち 1/n^2 の無限和が π^2/6 に等しいことを証明したという業績が紹介されました。

先生は講義の中で、オイラーのすごいところは、それ程難しくない証明で、すごい事実を示している点だと指摘されました。たしかに、Σ 1/n^2 = π^2/6 を見ても、左辺は自然数しか現われないのに、右辺に円周率 π が現われるのは神秘的に思えます。その証明も、決して難しすぎるわけではなく、高校程度の微積分を学んでいれば、読んで理解できる程度だと思います。

最後に、雑誌「数理科学」の今年の9月号で、木村先生の編集による、オイラーの特集記事が掲載されるそうです。楽しみにしたいと思います。